punkt im intervall < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Aus einem Intervall [a; b], a < b, werde zufällig ein Punkt gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Punkt näher am Mittelpunkt des Intervalls als am Rand liegt? |
Folgendes Problem:
Ich weiß, dass ich die beiden Bedingungen |a-x| > | [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] - x| und |b-x| > | [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] - x| erfüllt sein müssen, damit ein Punkt näher an der Mitte liegt. Und dass ich diese in [mm] \bruch{3}{4}a [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}b [/mm] und [mm] \bruch{3}{4}b [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}a [/mm] umstellen muss.
Meine Fragen:
Wie kommt man überhaupt auf diese Bedingungen? Wenn ich mir das aufzeichne, dann haut das ja hin, aber wie kommt man darauf?
Und wie kann ich das so umformen? Ich habe es immer wieder probiert, aber ich komme nie auf diese zwei Terme. Hier ein Beispiel:
|a-x| > | [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] - x| |²
a² - 2ax + x² > [mm] (\bruch{a+b}{2})^{2} [/mm] - [mm] 2\bruch{a+b}{2}*x [/mm] + x² | - x²
a² - 2ax > [mm] \bruch{a^{2}+2ab+b^{2}}{4} [/mm] - [mm] \bruch{2ax+2bx}{2}
[/mm]
a² - 2ax > [mm] \bruch{a^{2}+2ab+b^{2}}{4} [/mm] - [mm] \bruch{4ax+4bx}{4} [/mm] |+2ax
a² > [mm] \bruch{a^{2}+2ab+b^{2}}{4} [/mm] - [mm] \bruch{4ax+4bx}{4} [/mm] + [mm] \bruch{8ax}{4} [/mm] |-a²
0 > [mm] \bruch{a^{2}+2ab+b^{2}}{4} [/mm] - [mm] \bruch{-4ax+4bx}{4} [/mm] - [mm] \bruch{4a^{2}}{4} [/mm]
0 > [mm] \bruch{-3a^{2}+2ab+b^{2}}{4} [/mm] - [mm] \bruch{-4ax+4bx}{4} [/mm] - [mm] \bruch{4a^{2}}{4} [/mm]
Wie komme ich hier auf den oben genannten Term? Ist das überhaupt richtig bis hierhin?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Marder,
> Aus einem Intervall [a; b], a < b, werde zufällig ein
> Punkt gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
> der Punkt näher am Mittelpunkt des Intervalls als am Rand
> liegt?
> Folgendes Problem:
>
> Ich weiß, dass ich die beiden Bedingungen |a-x| > |
> [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm] - x| und |b-x| > | [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm] - x|
> erfüllt sein müssen, damit ein Punkt näher an der Mitte
> liegt. Und dass ich diese in [mm]\bruch{3}{4}a[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}b[/mm]
> und [mm]\bruch{3}{4}b[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}a[/mm] umstellen muss.
Hier stehen nur noch Terme. Was ist mit deiner Ungleichung passiert? Ich nehme an, du sie sollte umgeformt werden? Das kann da mit Sicherheit nicht rauskommen, weil wie gesagt, das Ungleichheitszeichen nicht mehr da ist. Oder soll das was ganz anderes sein? Also das musst du nochmal deutlich machen.
>
> Meine Fragen:
>
> Wie kommt man überhaupt auf diese Bedingungen? Wenn ich
> mir das aufzeichne, dann haut das ja hin, aber wie kommt
> man darauf?
Als Abstand zwischen 2 Punkten x,y auf der Zahlengeraden, ist gerade der Betrag der Differenz festgelegt. Wie man drauf kommt:
Betrachte den Fall x<y , also x-y<0
und überlege, wie man ihren Abstand berechnet (nämlich y-x=-(x-y))
und einmal den Fall x>y, also x-y>0 , dann kommt x-y raus.
das kann man zu |x-y| zusammenfassen. Falls dir nicht klar ist warum, informiere dich über die Betragsfunktion und betragsfreie Darstellung.
Und [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] ist der Mittelpunkt von a und b. Ist das nicht klar?
Dann heisst
|a-x| > [mm] |\bruch{a+b}{2}- [/mm] x|
einfach der Abstand von a und x ist grösser, als der Abstand des Mittelpunktes von x.
> Und wie kann ich das so umformen? Ich habe es immer wieder
> probiert, aber ich komme nie auf diese zwei Terme. Hier ein
> Beispiel:
>
> |a-x| > | [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm] - x| |²
> a² - 2ax + x² > [mm](\bruch{a+b}{2})^{2}[/mm] -
> [mm]2\bruch{a+b}{2}*x[/mm] + x² | - x²
> a² - 2ax > [mm]\bruch{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}[/mm] -
> [mm]\bruch{2ax+2bx}{2}[/mm]
> a² - 2ax > [mm]\bruch{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}[/mm] -
> [mm]\bruch{4ax+4bx}{4}[/mm] |+2ax
> a² > [mm]\bruch{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}[/mm] - [mm]\bruch{4ax+4bx}{4}[/mm] +
> [mm]\bruch{8ax}{4}[/mm] |-a²
> 0 > [mm]\bruch{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}[/mm] - [mm]\bruch{-4ax+4bx}{4}[/mm] -
> [mm]\bruch{4a^{2}}{4}[/mm]
> 0 > [mm]\bruch{-3a^{2}+2ab+b^{2}}{4}[/mm] - [mm]\bruch{-4ax+4bx}{4}[/mm] -
> [mm]\bruch{4a^{2}}{4}[/mm]
>
> Wie komme ich hier auf den oben genannten Term? Ist das
> überhaupt richtig bis hierhin?
Wie gesagt, oben war keine Ungleichung angegeben. Die Umformungen bis hierhin sehen richtig aus. (Aber auch ich kann mal was übersehen...)
LG walde
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> Hi Marder,
>
> > Aus einem Intervall [a; b], a < b, werde zufällig ein
> > Punkt gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
> > der Punkt näher am Mittelpunkt des Intervalls als am Rand
> > liegt?
> > Folgendes Problem:
> >
> > Ich weiß, dass ich die beiden Bedingungen |a-x| > |
> > [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm] - x| und |b-x| > | [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm] - x|
> > erfüllt sein müssen, damit ein Punkt näher an der Mitte
> > liegt. Und dass ich diese in [mm]\bruch{3}{4}a[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}b[/mm]
> > und [mm]\bruch{3}{4}b[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}a[/mm] umstellen muss.
>
> Hier stehen nur noch Terme. Was ist mit deiner Ungleichung
> passiert? Ich nehme an, du sie sollte umgeformt werden?
> Das kann da mit Sicherheit nicht rauskommen, weil wie
> gesagt, das Ungleichheitszeichen nicht mehr da ist. Oder
> soll das was ganz anderes sein? Also das musst du nochmal
> deutlich machen.
>
Also am Ende kommt wohl [mm]\bruch{3}{4}a[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}b[/mm] < x < [mm]\bruch{3}{4}b[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}a[/mm] raus und daraus ergibt sich irgendwie, dass die beiden Terme die jeweiligen Punkte sind. Also müsste bei der Umformung im ersten Post wohl irgendwie x > [mm] \bruch{3}{4}a [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}b [/mm] heraus kommen. Wenn mir irgendwer erklären könnte, wie ich darauf komme, wäre ich sehr dankbar.
Mir ist das alles nicht ganz klar, deswegen frage ich nach und bedanke mich schon mal für deine Erklärung für die erste Frage, das hat mir geholfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Do 28.01.2010 | | Autor: | Helbig |
Die Punkte im linken Viertel des Intervalls sind nāher am linken Rand als am Mittelpunkt. Die Punkte im rechten Viertel des Intervalls sind nāher am rechten Rand als an der Mitte. Alle anderen Punkte sind nāher am Mittelpunkt als am Rand. Die Gesamtlānge der beiden Randviertel durch die Lānge des Intervalls ergibt dann die Wahrscheinlichkeit, daß der zufāllig gewāhlte Punkt nāher am Rand als am Mittelpunkt ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 Do 28.01.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Marder,
du wolltest ja wissen, wie man von der Ausgangsungleichung auf dein Ergebnis kommt...
Ausgehend von deiner 2.Zeile, ich multipliziere aber mal nicht gleich alles aus, sondern nur so weit, dass man [mm] x^2 [/mm] subtrahieren kann (und ich hab einmal die 2 gekürzt):
[mm] $a^2-2ax>(\bruch{a+b}{2})^2-(a+b)x$ |+2ax-(\bruch{a+b}{2})^2
[/mm]
man will ja nach x umstellen, dazu bringt man alles mit x auf eine Seite und alles ohne x auf die andere:
[mm] a^2-(\bruch{a+b}{2})^2>2ax-(a+b)x
[/mm]
x ausklammern und zusammenfassen:
[mm] a^2-(\bruch{a+b}{2})^2>(a-b)x [/mm] |:(a-b)
vorsicht, da a<b dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Auf der linken Seite wird alles auf einen Bruchstrich geschrieben:
[mm] \bruch{4a^2-(a+b)^2}{4(a-b)}>x
[/mm]
Von jetzt an betrachte ich nur die linke Seite (damit ich weniger schreiben muss), die Rechte ändert sich nicht mehr. Erstmal doch jetzt ausmultiplizieren:
[mm] \bruch{4a^2-a^2-2ab-b^2}{4(a-b)}=\bruch{3a^2-2ab-b^2}{4(a-b)}
[/mm]
jetzt kommt der Trick: der Bruch wird auf zwei Brüche aufgeteilt
[mm] =\bruch{2a^2-2ab}{4(a-b)}+\bruch{a^2-b^2}{4(a-b)}
[/mm]
linker Teil: 2a ausklammern, rechter Teil 3.binom Formel:
[mm] =\bruch{2a(a-b)}{4(a-b)}+\bruch{(a-b)(a+b)}{4(a-b)}
[/mm]
jetzt nur noch kürzen und zusammenfassen, dann sollte es da stehen. Der anderen Teil der Ungleichung müsste analog gehen.
Für die Rechnerei schuldest du mir einen Keks 
Was dann die gesuchte W'keit angeht, hat ja Helbig schon geholfen.
LG walde
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> Aus einem Intervall [a; b], a < b, werde zufällig ein
> Punkt gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
> der Punkt näher am Mittelpunkt des Intervalls als am Rand
> liegt?
> Folgendes Problem:
>
> Ich weiß, dass ich die beiden Bedingungen |a-x| > |
> [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm] - x| und |b-x| > | [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm] - x|
> erfüllt sein müssen, damit ein Punkt näher an der Mitte
> liegt. Und dass ich diese in [mm]\bruch{3}{4}a[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}b[/mm]
> und [mm]\bruch{3}{4}b[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}a[/mm] umstellen muss.
>
> Meine Fragen:
>
> Wie kommt man überhaupt auf diese Bedingungen? Wenn ich
> mir das aufzeichne, dann haut das ja hin, aber wie kommt
> man darauf?
>
> Und wie kann ich das so umformen? Ich habe es immer wieder
> probiert, aber ich komme nie auf diese zwei Terme. Hier ein
> Beispiel:
>
> |a-x| > | [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm] - x| |²
> a² - 2ax + x² > [mm](\bruch{a+b}{2})^{2}[/mm] -
> [mm]2\bruch{a+b}{2}*x[/mm] + x² | - x²
> a² - 2ax > [mm]\bruch{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}[/mm] -
> [mm]\bruch{2ax+2bx}{2}[/mm]
> a² - 2ax > [mm]\bruch{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}[/mm] -
> [mm]\bruch{4ax+4bx}{4}[/mm] |+2ax
> a² > [mm]\bruch{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}[/mm] - [mm]\bruch{4ax+4bx}{4}[/mm] +
> [mm]\bruch{8ax}{4}[/mm] |-a²
> 0 > [mm]\bruch{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}[/mm] - [mm]\bruch{-4ax+4bx}{4}[/mm] -
> [mm]\bruch{4a^{2}}{4}[/mm]
> 0 > [mm]\bruch{-3a^{2}+2ab+b^{2}}{4}[/mm] - [mm]\bruch{-4ax+4bx}{4}[/mm] -
> [mm]\bruch{4a^{2}}{4}[/mm]
>
> Wie komme ich hier auf den oben genannten Term? Ist das
> überhaupt richtig bis hierhin?
Hallo,
mir scheint das, was du da rechnest, fürchterlich
kompliziert für etwas, das man mittels einer ein-
fachen Skizze ohne Rechnung sehen kann ...
LG Al-Chw.
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