punktweise Konvergenz. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 So 28.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Es sei [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] nxe^{-nx^{2}} [/mm] für x [mm] \in [0,\infty).
[/mm]
Für welche x [mm] \in [0,\infty) [/mm] konvergiert [mm] f_{n}(x) [/mm] punktweise gegen eine Funktion f(x). Bestimme f(x) für diese x [mm] \in [0,\infty).
[/mm]
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Hallo,
Meine Vermutung ist, dass [mm] f_{n}(x) [/mm] gegen 0 für bestimmte x punktweise konvergiert.
Also muss gelten ..... [mm] nxe^{-nx^{2}} <\varepsilon....... [/mm]
bzw. ..... [mm] nxe^{-nx^{2}}<\bruch{1}{n} <\varepsilon....... [/mm]
Ok, wir nehmen an ,dass das gilt; und jetzt muss man die Menge von x bestimmen , für die es gilt.
Dafür muss man die Ungleichung nach x umformen- da habe ich ein echtes Problem  . Bei meinen Umformungen kamen ln exp und
[mm] \wurzel[n]{...} [/mm] -Funktionen. Möglicherweise kenne ich nicht alle Tricks bei den Umformungen. Ich brauche keine vollständige Lösung oder sondern einen Tipp, wie man es umformt.
Kann mir da jemand helfen?
SG
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 So 28.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Es sei [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] nxe^{-nx^{2}} [/mm] für x [mm] \in [0,\infty).
[/mm]
Für welche x [mm] \in [0,\infty) [/mm] konvergiert [mm] f_{n}(x) [/mm] punktweise gegen eine Funktion f(x). Bestimme f(x) für diese x [mm] \in [0,\infty).
[/mm]
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Hallo,
Meine Vermutung ist, dass [mm] f_{n}(x) [/mm] gegen 0 für bestimmte x punktweise konvergiert.
Also muss gelten ..... [mm] nxe^{-nx^{2}} <\varepsilon....... [/mm]
bzw. ..... [mm] nxe^{-nx^{2}}<\bruch{1}{n} <\varepsilon....... [/mm]
Ok, wir nehmen an ,dass das gilt; und jetzt muss man die Menge von x bestimmen , für die es gilt.
Dafür muss man die Ungleichung nach x umformen- da habe ich ein echtes Problem . Bei meinen Umformungen kamen ln exp und
[mm] \wurzel[n]{...} [/mm] -Funktionen. Möglicherweise kenne ich nicht alle Tricks bei den Umformungen.
Kann mir da jemand helfen?
SG
Igor
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Hallo Igor,
> Es sei [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]nxe^{-nx^{2}}[/mm] für x [mm]\in [0,\infty).[/mm]
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> Für welche x [mm]\in [0,\infty)[/mm] konvergiert [mm]f_{n}(x)[/mm] punktweise
> gegen eine Funktion f(x). Bestimme f(x) für diese x [mm]\in [0,\infty).[/mm]
>
> Hallo,
>
> Meine Vermutung ist, dass [mm]f_{n}(x)[/mm] gegen 0 für bestimmte x
> punktweise konvergiert.
>
> Also muss gelten ..... [mm]nxe^{-nx^{2}} <\varepsilon.......[/mm]
>
> bzw. ..... [mm]nxe^{-nx^{2}}<\bruch{1}{n} <\varepsilon.......[/mm]
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> Ok, wir nehmen an ,dass das gilt; und jetzt muss man die
> Menge von x bestimmen , für die es gilt.
>
> Dafür muss man die Ungleichung nach x umformen- da habe ich
> ein echtes Problem . Bei meinen Umformungen kamen ln exp
> und
> [mm]\wurzel[n]{...}[/mm] -Funktionen. Möglicherweise kenne ich
> nicht alle Tricks bei den Umformungen. Ich brauche keine
> vollständige Lösung oder sondern einen Tipp, wie man es
> umformt.
> Kann mir da jemand helfen?
>
> SG
>
> Igor
>
>
geh das ganze doch mal ein bisschen systematischer an: um herauszufinden, fuer welche x die F-folge konvergiert brauchst du eigentlich kein [mm] \epsilon-kriterium [/mm] sondern nur ein wenig ueberlegung.
was passiert zB. bei x=1? Dann ist [mm] $f_n(1)=n\cdot e^{-n}$.
[/mm]
was passiert nun bei n gegen [mm] \infty? [/mm] Im Grunde laeuft es darauf hinaus, ob die e-funktion schneller abfaellt als eine lineare funktion steigt. Was weisst du dazu? falls ihr das noch nicht besprochen habt, kannst dus mit der regel von de l'hospital rausbekommen.
Siehst du jetzt auch welchen x-wert man getrennt betrachten muss?
gruss
matthias
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