punktweise Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Dorothea |
| Aufgabe | Für [mm] n\in [/mm] N sei fn:[0,1] --> R mit
[mm] f(n)=\left\{\begin{matrix} n^2*x, & \mbox{für }0\le x\le 1/n \mbox{ } \\0, & \mbox{für }1/n< x\le 1 \mbox{ }\end{matrix}\right.
[/mm]
Zeigen sie: [mm] (fn)n\in [/mm] N konvergiert für jedes [mm] x\in[0,1] [/mm] punktweise gegen 0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bräuchte hier einen Tipp, wie genau ich das mit der punktweisen konvergenz machen kann. Ich weiß
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(fn)n\inN [/mm] = f(x). Wobei f(x) die Granzfunktion ist.
Betrachte ich ein festes x aus [mm] 1/n
Kann mir evtl jemand weiterhelfen?
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Hiho,
> Betrachte ich ein festes x aus [mm]1/n
> klar, aber für den anderen Fall komme ich immer darauf
> dass fn gegen unendlich konvergiert.
dann hast du das nicht konsequent durchdacht.
Nehmen wir uns mal so ein festes $x [mm] \in [/mm] [0,1]$
Dann haben wir ja für jedes [mm] f_n [/mm] die Partition $[0,1] = [mm] \left[0,\bruch{1}{n}\right] \cup \left(\bruch{1}{n},1\right]$
[/mm]
Für $n > [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] liegt x dann in welchem der beiden Teilintervalle?
Was ist also [mm] $f_n(x)$ [/mm] für $n > [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] ?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Dorothea |
> > dann hast du das nicht konsequent durchdacht.
> Nehmen wir uns mal so ein festes [mm]x \in [0,1][/mm]
>
> Dann haben wir ja für jedes [mm]f_n[/mm] die Partition [mm][0,1] = \left[0,\bruch{1}{n}\right] \cup \left(\bruch{1}{n},1\right][/mm]
>
> Für [mm]n > \bruch{1}{x}[/mm] liegt x dann in welchem der beiden
> Teilintervalle?
> Was ist also [mm]f_n(x)[/mm] für [mm]n > \bruch{1}{x}[/mm] ?
>
> MFG,
> Gono.
Hey,
Danke erstmal :)
also für n>1/x gilt dann für mein x: x>1/n und somit ist die konvergenz wieder klar. Aber warum genau betrachte ich n>1/x? Irgendwie ist mir der Schritt nicht ganz klar.
MfG
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Hiho,
> Hey,
> Danke erstmal :)
> also für n>1/x gilt dann für mein x: x>1/n und somit ist
> die konvergenz wieder klar. Aber warum genau betrachte ich
> n>1/x? Irgendwie ist mir der Schritt nicht ganz klar.
naja, du betrachtest doch für jedes feste x die Folge [mm] $f_n(x)$ [/mm] und davon den Grenzwert
[mm] $\lim_{n\to\infty} f_n(x)$
[/mm]
und wie du aus der Theorie von Zahlenfolgen wissen solltest, spielen eine endliche Anzahl von Gliedern für die Konvergenz und den Grenzwert einer Folge keine Rolle, so dass wir diese getrost vernachlässigen können.
D.h. ob unsere Folge bei $n=1$ oder bei $n> [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] startet, spielt keine Rolle.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 11.03.2012 | | Autor: | Dorothea |
| Aufgabe | Untersuche die folgende Funktionsreihe auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty } x^k*(1-x)
[/mm]
[mm] x\in [/mm] [0,1] |
Okay ,danke für den Hinweis.
Jetzt bin ich aber auf eine neue Aufgabe gestoßen.
Und zwar betrachten die hierbei in der Lösung einmal x=1 gesondert und einmal [mm] x\in [/mm] [o,1)
für x=1 bekommt man dann [mm] 1^k*(1-1) [/mm] = 0
okay das verstehe ich,
dann betrachten die das restliche intervall und erhalten über Umformen und über die geometrische Reihe dann (1-x)*1/(1-x) = 1
diese Umformungen kann ich auch soweit nachvollziehen. Was ich jetzt aber nicht verstehe, ist, warum sie die eins gesondert betrachten und den Rest nicht.
Betrachtet man doch zum Beispiel die 0 gesondert, so erhalte ich:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty } 0^k*(1-0) [/mm] was für mich 0 ergibt.
wieso ist das falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 So 11.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuche die folgende Funktionsreihe auf punktweise und
> gleichmäßige Konvergenz:
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty } x^k*(1-x)[/mm]
> [mm]x\in[/mm] [0,1]
> Okay ,danke für den Hinweis.
>
> Jetzt bin ich aber auf eine neue Aufgabe gestoßen.
> Und zwar betrachten die hierbei in der Lösung einmal x=1
> gesondert und einmal [mm]x\in[/mm] [o,1)
>
> für x=1 bekommt man dann [mm]1^k*(1-1)[/mm] = 0
> okay das verstehe ich,
> dann betrachten die das restliche intervall und erhalten
> über Umformen und über die geometrische Reihe dann
> (1-x)*1/(1-x) = 1
> diese Umformungen kann ich auch soweit nachvollziehen. Was
> ich jetzt aber nicht verstehe, ist, warum sie die eins
> gesondert betrachten und den Rest nicht.
> Betrachtet man doch zum Beispiel die 0 gesondert, so
> erhalte ich:
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty } 0^k*(1-0)[/mm] was für mich 0 ergibt.
> wieso ist das falsch?
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty 0^k*(1-0)=0^0*(1-0)+0^1*(1-0)+0^2*(1-0)+...=1*1+0*1+0*1+...=1\,.$$
[/mm]
Beachte die Konvention [mm] $0^0:=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Dorothea,
schau dir die Umformungen nochmal genau an, die dir so "klar" sind.
Du wirst erkennen, dass diese nur für [mm] $x\not=1$ [/mm] gelten, daher muss dieser Fall gesondert betrachtet werden.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Dorothea |
| Aufgabe | untersuche auf punktweise und gleichmäßiger konvergenz
[mm] \sum_{k=1}^{\infin} \bruch{x^2}{(1+x^2)^n}
[/mm]
x [mm] \in [/mm] R |
ich hab mir überlegt, dass diese reihe irgendwie null wird aber wir hatten das mit den punktweisen und gleichmäßigen konvergenz bis jetzt nur für folgen,
wie mach ich das hier mit den reihen?
>
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Dorothea |
die reihe soll von n=0 bis unendlich gehen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> untersuche auf punktweise und gleichmäßiger konvergenz
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infin} \bruch{x^2}{(1+x^2)^n}[/mm]
> x [mm]\in[/mm] R
> ich hab mir überlegt, dass diese reihe irgendwie null
> wird aber wir hatten das mit den punktweisen und
> gleichmäßigen konvergenz bis jetzt nur für folgen,
> wie mach ich das hier mit den reihen?
zum einen: Eine Reihe ist auch nur die Folge ihrer Teilsummen. (![[]](/images/popup.gif) Beachte Definition 6.1, Definition 15.1, und auch insbesondere Bemerkung und Definition 15.11..)
Generell ist also Kapitel 15 für Dich interessant (alles, wo Funktionenreihen erwähnt werden). Schau' mal, ob Du selbst was findest, oder welche Sätze aus obigem Skript Du kennst (Weierstraß, ...). Dann schauen wir weiter.
P.S.
Die Reihe wird sicher nicht Null. Für jedes $x [mm] \not=0$ [/mm] gilt doch schon
[mm] $$\sum_{n \ge 1}\frac{x^2}{(1+x^2)^n} \ge \frac{x^2}{1+x^2} [/mm] > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Plotte Dir mal die Funktion $x [mm] \mapsto \frac{x^2}{1+x^2}\,,$ [/mm] dann weißt Du immerhin, falls die Reihe überall konvergiert, "oberhalb von welchem Graphen der Graph der Funktionenreihe liegt".
Weiterer Tipp:
Für jedes feste $x [mm] \in \IR$ [/mm] kannst Du ja mal das Wurzelkriterium anwenden, um herauszufinden, ob pktw. Kgz. vorliegt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Dorothea |
okay :)
also ich hab dann mal das wurzelkriterium angewendet und bin dann auf
[mm] \bruch{\wurzel[n]{x^2}}{(1+x^2)}
[/mm]
für n gegen unendlich müsste der bruch oben gegen 1 gehen, das unten bleibt bestehen. da [mm] x\in [/mm] R wir das ganze kleiner gleich 1 (für x=0) bleibt aber wegen dem + x quadrat größer null
das heißt doch das die reihe absolut konvergiert..
Nach dem weierstraßen konvergenzkriterium konvergiert so eine reihe gleichmäßig, wenn die reihe von der unendlichnorm kleinerals unendlich ist
muss ich das jetzt noch überprüfen und wenn ja wie? oder kann ich aus absoluter kovergenz auch gleichmäßige folgern
und was ist mit punktweiser?
vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay :)
> also ich hab dann mal das wurzelkriterium angewendet und
> bin dann auf
> [mm]\bruch{\wurzel[n]{x^2}}{(1+x^2)}[/mm]
> für n gegen unendlich müsste der bruch oben
das, was bei Dir "der Bruch oben" ist, nennt man auch Zähler!!
> gegen 1
> gehen, das unten bleibt bestehen. da [mm]x\in[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R wir das ganze
> kleiner gleich 1 (für x=0) bleibt aber wegen dem + x
> quadrat größer null
Mit $\le 1$ dürfen wir uns nicht begnügen. Ergänzenswert ist auch, dass Du für jedes feste $x \in \IR$ eh
$$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\red{\left|\frac{}{ }\right.}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}\red{\left.\frac{}{ } \right|}}$$
zu berechnen hattest - da kommt, im Falle der Existenz - immer was raus, was $\ge 0$ ist!
Aber es ist glücklicherweise FÜR JEDES beliebige, feste $x \in \IR \setminus\{0\}$
$$\left|\frac{1}{1+x^2}\right|=\frac{1}{1+x^2} <1\,,$$
also für jedes solche $x\,$ konvergiert die Reihe absolut und damit konvergiert sie insbesondere ($\IR$ ist vollständig!).
Und für $x=0$ ist eh $\sum_{n \ge 1} \frac{x^2}{(1+x^2)}=\sum 0=0\,.$
> das heißt doch das die reihe absolut konvergiert..
An jeder Stelle $x\,$ konvergiert sie.
> Nach dem weierstraßen konvergenzkriterium konvergiert so
> eine reihe gleichmäßig, wenn die reihe von der
> unendlichnorm kleinerals unendlich ist
Ich kenne das anders, aber schreibe das nochmal genau hin, wie das bei Euch aussieht (sollte das gleiche sein, aber momentan muss ich das erstmal sehen, um genau zu verstehen, wie Du das meinst - mich verwirrt das gerade ^^).
> muss ich das jetzt noch überprüfen und wenn ja wie? oder
> kann ich aus absoluter kovergenz auch gleichmäßige
> folgern
Was meinst Du damit? Nach Weierstraß (Satz 15.6) folgt die glm. Konvergenz, wenn es eine absolut konvergente Majorante (für alle $x\,,$ d.h. die absolut konvergente Reihe darf nicht von $x\,$ abhängen, sondern es muss eine "universelle" sein) gibt. In einem solchen Sinne: Ja.
Wenn Du nur meinst, dass es ausreicht, dass oben für jedes $x\,$ eine absolute konvergente Majorante(nreihe) gibt: Dann nein, das reicht nicht!
Also nochmal:
Oben haben wir erstmal geprüft, ob die Reihe überhaupt für alle $x\,$ konvergiert. Hätte sie es nicht getan, bräuchten wir uns um glm. Kgz. erst gar keine Gedanken machen.
Nun konvergiert sie pktw., also für alle $x\,.$ Dann kann es sein, dass sie auch glm. (auf $\IR$) konvergiert, aber das muss nicht sein. Wenn Du nun auch zeigst, dass sie glm. konvergiert, dann war die Überprüfung auf pktw. Kgz. unnötig (in dem Skript, dass ich verlinkt habe: Bemerkung 15.4) - denn das würde dann direkt aus der glm. Kgz. folgen.
> und was ist mit punktweiser?
Wie gesagt: Wenn Du etwa mit Weierstraß (Skript: Satz 15.6) direkt zeigst,dass die obige Funktionenreihe glm. konvergiert, dann folgt insbesondere auch die pktw..
Es ist aber nie verkehrt, sich auch erstmal mit der pktw. Konvergenz zu befassen, denn wenn diese nicht gilt, kann die Funktionenreihe auch nicht glm. konvergieren (Kontraposition des Satzes oben!).
Außerdem kann es ja sein, dass die Funktionenreihe zwar pktw., aber nicht glm. konvergiert.
Was Du bisher erkannt hast (mit einem Fehler, denn Du nicht machen darfst: Du hast mit $\red{\le}\; 1$ an einer Stelle argumentiert, wo Du $< 1\,$ brauchst - für $=1\,$ gibt's ja beim WK i.a. eh keine Aussage!):
Die gegebene Funktionenreihe konvergiert pktw. (d.h. für jedes $x \in \IR$). Meinetwegen auch insbesondere $S(0)=0\,.$ (Dabei sei $S(x):=\sum_{n \ge 1}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}$ $(x \in \IR)\,,$ wobei wir eigentlich erst jetzt wissen, dass das eine wohldefinierte Funktion $\IR \to \IR$ ist! Hätten wir vorher $S\,$ formal mit $S(x)=\sum_{n \ge 1}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}$ ($x \in \IR$) definiert, wäre das erstmal nur "eine rein formale Definition" - was man auch (oft) so macht.)
Ob Weierstraß hier angebracht ist, weiß ich gerade nicht, weil ich auf die schnelle keine "Majorante" sehe. In dem verlinkten Skript kannst Du Dir aber mal das Cauchy-Kriterium für glm. Konvergenz anschauen:
Schreibe es erstmal um, d.h. wende es auf
$$\left(\sum_{n=1}^N \frac{x^2}{(1+x^2)^n}\right)_{N \in \IN}\equiv:(S_N(x))_{N \in \IN}$$
an (beachte Definition 6.1 und die zugehörige Bemerkung: Für jedes $x\,$ ist $S_N(x)$ das $N\,$-te Glied der Reihe $\sum_{n \ge 1}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}\,,$ denn eine Reihe ist per Definitionem ja erstmal die Folge ihrer Teilsummen, und $S_N$ ist halt genau passend definiert).
P.S.
Für eine gegebene Folge $(b_n)$ und eine noch zu definierende Folge schreibe ich $(a_n):\equiv(b_n)\,,$ wenn $a_n:=b_n$ für alle $n\,$ gelten soll.
Gruß,
Marcel
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