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Forum "Funktionalanalysis" - punktweise Konvergenz
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punktweise Konvergenz: Lp-Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Di 11.12.2012
Autor: mikexx

Aufgabe
Wie hängen punktweise Konvergenz und Konvergenz bzgl. einer [mm] $L^p$ [/mm] - Norm zusammen?

Ich sehe keinen Zusammenhang, es soll aber einen geben...

        
Bezug
punktweise Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Di 11.12.2012
Autor: dennis2

Hallo, mikexx!

Im Allgemeinen gibt es da wirklich keinen Zusammenhang, soll heißen, daß punktweise Konvergenz i.A. nicht Konvergenz bzgl. einer [mm] $L^p$ [/mm] - Norm impliziert und auch umgekehrt impliziert die [mm] $L^p$-Konvergenz [/mm] i.A. nicht punktweise Konvergenz. Findest Du entsprechende Gegenbeispiele?

Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der [mm] $L^2$ [/mm] - Konvergenz einer Funktionenfolge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] und der punktweisen Konvergenz f.ü. einer Teilfolge [mm] $(f_{n_k})_k$: [/mm]

[mm] $f_n\to [/mm] f$ in [mm] $L^2 \Rightarrow \exists (f_{n_k})_k) \to [/mm] f f.ü.$

Bezug
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