punktweise/gleichmäßig konv. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Sa 31.03.2007 | | Autor: | juerci |
Ausrechnen ob eine Funktionenfolge gleichmäßig oder punktweise konvergent ist, ist kein Problem. Schwer tun tu ich mir nur beim graphischen Verständnis bezüglich [mm] \varepsilon [/mm] - Kriterium.....
Würde mich freun, wenn mir jemand helfen könnte, da ich nächste Woche eine mündliche Klausur habe, und unser Prof. auf graphische Darstellungen bzw. Erklärungen sehr viel Wert legt.
unsere Definitionen:
punktweise Konvergenz: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N(\varepsilon): [/mm] | fn(x) - f(x)| < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n > [mm] N(\varepsilon) [/mm]
glm. Konvergenz: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N(\varepsilon): [/mm] | fn(x) - f(x)| < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n > [mm] N(\varepsilon) \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D
oder mit Sup: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N(\varepsilon): [/mm] sup| fn(x) - f(x)| < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n > [mm] N(\varepsilon)
[/mm]
[Warum genügt es dies nur für das Supremum zu zeigen?????]
habe mir das immer bei folgenden Bsp. graphisch durchüberlegt, bin aber immer auf dem Holzweg gelandet:
fn(x) = [mm] x^{n} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0,1] => nicht glm. konv.
fn(x) = [mm] \bruch{1}{x^{n}} [/mm] für x [mm] \in (1,\infinity) [/mm] => nicht glm. konvergent
fn(x) = [mm] \bruch{1}{(x+1)^{n}} [/mm] für x [mm] \in (1,\infinity) [/mm] => glm. konvergent
Danke im voraus!!
MFG Jürgen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also zunächst zur punktweisen Konvergenz.
Angenommen man hat eine Funktionenfolge fn (x), dann bedeutet punktweise Konvergenz gerade, dass sie in jedem Punkt konvergiert, also wenn du einen beliebigen Punkt x nimmst, dann ist fn (x) eine gewöhnliche Folge die gegen ein f(x) konvergiert für n [mm] \to [/mm] unendlich. Das ist gerade die Aussage deiner Bedingung:
Für alle x und alle [mm] \varepsilon [/mm] gibt es ein [mm] N(\varepsilon,x) [/mm] so dass für alle größeren n sich die Werte der Folge und die der Grenzfunktion beliebig nah kommen.
Jetzt ist es aber so, dass das N nicht nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt sondern auch von dem betrachteten Punkt x. Ist es nun möglich dass N nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt und nicht vom Punkt x, also man in jedem Punkt dass gleiche [mm] N(\varepsilon) [/mm] wählen kann, so spricht man von gleichmäßiger Konvergenz. Zu gegebenem [mm] \varepsilon [/mm] gibt es ein [mm] N(\varepsilon), [/mm] so dass für alle größeren n die Funktionenfolge sich sozusagen in einer epsilon Schlaufe um die Grenzfunktionen befindet. Und deshalb das Supremum. Ist die Aussage für das Supremum erfüllt, so auch für alle anderen Abstände, da das Supremum ja das größte von allen ist.
Ich hoffe das hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 So 01.04.2007 | | Autor: | juerci |
danke ich glaub jetzt hab ichs verstanden
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