punktweise und gleichmäßige konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:55 Fr 04.06.2004 | | Autor: | franky |
ich habe da drei aufgaben zu bewerkstelligen, obwohl ich noch nicht mal weiß, was punktweise konvergenz eigentlich meint. ich habe enorme probleme damit und brauche dringend eine kleine nachhilfe. leider gibt es in meinem bekanntenkreis keine mathematiker...
ich soll [mm] f_n [/mm] (x) auf punktweise und stetige konvergenz untersuchen, x in (0,1).
a) [mm] f_n(x)=\wurzel[n]{x} [/mm]
b) [mm] f_n(x)={1 \br 1+nx}
[/mm]
c) [mm] f_n(x)={x \br 1+nx}
[/mm]
bin dankbar für jede hilfe.
franka
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Hmm vielleicht machst Du Dir erstmal klar was der Unterschied von punktweiser Konvergenz zu gleichmäßiger Konvergenz ist. Also Du betrachtest ja eine Folge von Funktionen. Läßt die die freie Variable x fest, also z.B. x=0,5, dann wird daraus eine ganz "normale" Folge. Ist diese dann Konvergent, so konvergiert die Folge punktweise in x=0,5. Mit stetiger Konvergenz meinst Du gleichmäßige Konvergenz? Wenn nun für alle x in dem Intervall (0,1) die Funktionenfolge punktweise konvergiert, folgt daraus leider noch nicht die gleichmäßige Konvergenz. Hmm gleichmäßige konvergenz bedeutet anschaulich, dass [mm] f_{n} [/mm] (x) für zwei Werte von x die nahe beieinander liegen ein ähnliches Annäherungsverhalten hat., dass also wenn ich also ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 finden kann, so dass [mm] |f_{n}(x)-f(x)|< \varepsilon [/mm] gilt für alle n großgenug. Ich finde man kann sich das zeichnerisch schön klar machen:
Zeichne den Graphen der Grenzfunktion, und dann einen um plus epsilon und um minus epsilon verschobenem Graphen. Das sieht dann aus wie ein "Schlauch" und innerhalb dieses Schlauches müssen dann alle Folgeglieder der Funktionenfolge (bis auf endlich viele) verlaufen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Fr 04.06.2004 | | Autor: | franky |
ich danke für deine schnelle antwort!
heißt das also, dass ich punktweise konvergenz für das intervall von null bis eins untersuche, in dem ich einmal x für null betrachte, und dann für x eins einsetze?
für die gleichmäßige konvergenz muss ich mir also ein beliebig kleines epsilon wählen, in das diese folge bei unendlichem n fällt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Fr 04.06.2004 | | Autor: | franky |
hallo marc, hallo bigfella,
ich finde es sehr lieb, dass ihr euch mit meinem problem beschäftigt.
ich habe mal geschaut, was es da schon für beiträge zur konvergenz gab. allerdings funkt es bei mir nicht wirklich!
ich kapier nicht den unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger stetigkeit. sind die definitionen nicht sehr ähnlich?
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Hallo Franka,
hmm ja die Definitionen sind ähnlich, aber die gleichmäßige Konvergenz ist eine stärkere Forderung! Als punktweise Konvergenz: Für jedes x konvergiert die Folge der Funktionswerte, aber wenn du zwei die Funktionswertefolge von zwei verschiedenen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] betrachtest, kann es sein, dass wenn du sich die eine Folge ab eine bestimmten [mm] n_{0} [/mm] nicht mehr als [mm] \varepsilon [/mm] von der [mm] f(x_{1}) [/mm] unterscheidet, aber die andere noch einen größeren Abstand hat. Also bei punktweiser Konvergenz ist das [mm] n_{0} [/mm] , aber dem die Funktionswerte kleiner als epsilon sind abhänig von x, bei gleichmäßiger Konvergenz nicht! Hmm hast du das in etwas verstanden? "Meinen" Etechnikern habe ich das mit den Graphen innerhalb des Epsilonschlauches plausiebel gemacht.
Ciao
Cordian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo nocheinmal,
hier habe ich ein Bildchen zu dem [mm] $\varepsilon$-Schlauch [/mm] (bei glm. Konvergenz) gefunden (wenn auch mit Sicherheit nicht das schönste), für alle diejenigen, die (etwas) Anschauung zur gleichmäßigen Konvergenz wollen:
![[]](/images/popup.gif) Link
Seite 25, Zählung innerhalb des Dokumentes (die steht rechts unten)
Bemerkung dazu:
Die dortige Funktion [mm] $f_n$ [/mm] verläuft jedenfalls so, falls schon [m]n \ge N_\varepsilon[/m] gilt (ich bevorzuge diese Schreibweise bei glm. Konvergenz) (und man sich vorstellt, dass man auch einen anderen, beliebigen Abschnitt des Definitionsbereiches auswählen könnte, und dann [mm] $f_n$ [/mm] wieder innerhalb des [m]\varepsilon[/m]-Schlauches liegt).
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Franky,
ich versuche auch noch einmal, dir den Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz nahezulegen, dazu schaust du dir aber bitte noch einmal erst den Link von Marc an:
Punktweise Konvergenz
Dort heißt es ja, dass dieses [mm] $n_{0}$ [/mm] von $x$ und [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängen darf. Bei der punktweisen Konvergenz kann dieses [mm] $n_{0}$ [/mm] also, wenn man zwei unterschiedliche $x$-Werte festhält, variieren. Dieses [mm] $n_{0}$ [/mm] wird im Allgemeinen nicht nur von dem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ abhängen, sondern auch von dem zu betrachtenden $x$.
Nehmen wir einmal an, du hättest eine Funktionenfolge [m]f_n: \IR \rightarrow \IR[/m], die punktweise gegen $f: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] konvergiert. Nehmen wir weiter an, du gibst dir ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vor. Dann findest du zu [mm] $x_{1}=1$ [/mm] vielleicht das [m]n_{0}=20[/m], so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] 20$ gilt:
[mm] $\left| f_n(1)-f(1) \right| \le \varepsilon$, [/mm] aber (z.B. vielleicht) für [m]x_{2}=2[/m] ein anderes, größeres [mm] $n_{0}$, [/mm] z.B. [mm] $n_{0}=30$, [/mm] so dass erst für alle [m]n \ge n_{0}[/m] gilt:
[mm] $\left| f_n(2)-f(2) \right| \le \varepsilon$.
[/mm]
Wichtig ist aber, dass, wenn du einen beliebigen $x$-Wert festhältst, findest du zu diesem $x$-Wert und dem gegebenen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein solches [m]n_{0}[/m].
Bei der gleichmäßigen Konvergenz darf dieses [mm] $n_{0}$ [/mm] aber nie von dem zu betrachteten $x$-Wert abhängen.
Wenn [mm] $f_n$ [/mm] gleichmäßig gegen $f$ konvergiert, so ist dieses [mm] $n_{0}$ [/mm] einzig und allein abhängig von dem vorgegebenen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ auffindbar.
Vielleicht wird es auch etwas klarer, wenn man bei der punktweisen Konvergenz [mm] $N_{\varepsilon,x}$ [/mm] anstatt [mm] $n_{0}$ [/mm] schreibt und bei der gleichmäßigen Konvergenz [mm] $N_{\varepsilon}$ [/mm] statt [mm] $n_{0}$ [/mm] schreibt.
Entsprechende Formulierungen findest du etwa hier:
Link
Wenn du das nun wirklich verstanden hast, dann müßtest du auch sofort verstehen, dass die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge die punktweise Konvergenz impliziert.
Und nun meine Frage an dich: Warum?
(Es könnte aber sein, dass dir eine formal korrekte Formulierung einer Antwort dazu schwerer fällt, als diese Einsicht. Geht mir jedenfalls oft so  ).
(Leider werde ich vermutlich nicht vor morgen abend die Zeit zur Kontrolle haben, solltest du auf diese Frage antworten. Evtl. sogar nicht erst vor Montag...)
Viele Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Sa 05.06.2004 | | Autor: | franky |
Also nach all den Informationen (für die ich sehr dankbar bin!!!), habe ich mich nun an meine Aufgaben gewagt.
Wenn ich das richtig verstanden habe, untersuche ich zuerst die punktweise Konvergenz, und wenn ich die tatsächlich erhalte, kann ich auch sagen, dass meine Folge gleichmäßig konvergent ist. Erhalte ich keine punktweise Konvergenz, kann meine Folge auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen.
Bin mir nicht ganz sicher, ob das jetzt stimmt!?
Nun zu meiner Aufgabe:
[mm] f_n(x)=\wurzel[n]{x} [/mm] , [mm] x\in [/mm] (0,1)
lim [mm] f_n(x)=f(x)
[/mm]
lim [mm] \wurzel[n]{x}=lim x^\bruch{1}{n}=x^0=1
[/mm]
--> [mm] \begin{vmatrix}
f_n(x)- & F(x)
\end{vmatrix}\le\epsilon, n\ge n_0
[/mm]
[mm] \begin{vmatrix}\wurzel[n]{x}-x^0\end{vmatrix}\le\epsilon
[/mm]
Wie geht`s aber nun weiter? Habe ich die Betragsstriche aufzulösen?
Oh je, ist das alles schwierig....
Danke schon jetzt für eine Antwort!!!
Gruß. Franky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 06.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Franky,
> Also nach all den Informationen (für die ich sehr dankbar
> bin!!!), habe ich mich nun an meine Aufgaben gewagt.
> Wenn ich das richtig verstanden habe, untersuche ich zuerst
> die punktweise Konvergenz, und wenn ich die tatsächlich
> erhalte, kann ich auch sagen, dass meine Folge gleichmäßig
> konvergent ist.
Nein, umgekehrt. Ich hatte doch gesagt, gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz, d.h.:
Wenn die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist, dann ist sie auch punktweise konvergent.
(Das 'Ergebnis' aus der punktweisen Konvergenz (falls die Funktionenfolge punktweise konvergiert) kann man nutzen, um eine Grenzfunktion explizit anzugeben und dann mittels der Grenzfunktion (im Falle der punktweisen Konvergenz) die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge entweder nachzuweisen oder zu widerlegen. Deshalb ist es oft sinnvoll, sich erst Gedanken zu machen, ob die Funktionenfolge überhaupt punktweise konvergiert. Dies begründet auch mein nächster Satz.)
Außerdem gilt diese, zu meinem letzten Satz (vor der Bemerkung in der Klammer (...)), äquivalente Aussage:
Ist eine Funktionenfolge nicht punktweise konvergent, dann ist sie auch nicht gleichmäßig konvergent!
> Erhalte ich keine punktweise Konvergenz,
> kann meine Folge auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen.
Auch hier ist es umgekehrt:
Wenn eine Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert, so kann sie dennoch punktweise konvergieren. Wenn du also nachweisen kannst, dass eine Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert, so weißt du noch gar nichts darüber, ob sie punktweise konvergiert oder nicht, sondern mußt dieses auch untersuchen (wenn du etwas über punktweise Konvergenz in Erfahrung bringen willst).
> Bin mir nicht ganz sicher, ob das jetzt stimmt!?
> Nun zu meiner Aufgabe:
>
> [mm] f_n(x)=\wurzel[n]{x} [/mm] , [mm] x\in [/mm] (0,1)
>
> lim [mm] f_n(x)=f(x)
[/mm]
> lim [mm] \wurzel[n]{x}=lim x^\bruch{1}{n}=x^0=1
[/mm]
Und wieso gilt für $x [mm] \in [/mm] (0,1)$:
$lim [mm] x^\bruch{1}{n}=x^{lim\bruch{1}{n}}$? [/mm] (Es ist nicht falsch, sollte aber begründet werden!)
Im Prinzip hast du damit schon gezeigt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergent ist (für $x [mm] \in [/mm] (0,1)$), und zwar gegen die Grenzfunktion:
$f(x) [mm] :\equiv [/mm] 1$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,1)$. (Ist dir das klar?)
> --> [mm] \begin{vmatrix}
f_n(x)- & F(x)
> \end{vmatrix}\le\epsilon, n\ge n_0
[/mm]
>
>
> [mm] \begin{vmatrix}\wurzel[n]{x}-x^0\end{vmatrix}\le\epsilon
[/mm]
> Wie geht`s aber nun weiter? Habe ich die Betragsstriche
> aufzulösen?
Nun ja, ich denke, dass du mit obiger Rechnung nachprüfen willst, ob die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent gegen $f(x) [mm] \equiv [/mm] 1$ ($x [mm] \in [/mm] (0,1)$) ist. Auch, wenn es nun kein Beweis ist, habe ich mir aus Zeitgründen einfach mal die Graphen von [mm] $f_n(x)=x^{\bruch{1}{n}}$ [/mm] anzeigen lassen, und, wenn man sich anguckt, wie das bei $x$-Werten nahe der $0$ aussieht, so sollte man nachweisen können, dass die Funktionenfolge nicht gleichmäßig gegen [m]f(x) \equiv 1[/m] ($x [mm] \in [/mm] (0,1)$) konvergiert.
Leider fehlt mir aber die Zeit (und auch etwas die Lust), das ganze nun noch mathematisch auszuformulieren. Deshalb lasse ich deine Frage auch auf 'nur' teilweise beantwortet stehen, weil ich auch in der kommenden Woche vermutlich die Zeit dafür nicht finden werde (auch, wenn dieser Beweis (vermutlich) nicht allzu lange werden sollte).
> Oh je, ist das alles schwierig....
Sagen wir mal: gewöhnungsbedürftig
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
es bleibt ja noch zu zeigen, dass [mm] $(F_n)_{n \in \IN}$, [/mm] definiert durch
[mm] $F_n(x) [/mm] = [mm] \sqrt[n]{x}$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$,
nicht gleichmäßig gegen die konstante Einsfunktion konvergiert.
Würde sie das tun, dann gäbe es für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] mit
(*) [mm] $|\sqrt[n]{x} [/mm] - 1| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge n_0(\varepsilon)$ [/mm] und alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$.
Wir wählen für ein [mm] $n_1\in \IN$, $n_1 \ge [/mm] 2$ : [mm] $\varepsilon:=1-\frac{1}{n_1} [/mm] >0$.
Nun wählen wir [mm] $N:=\max\{n_0(\varepsilon),n_1\}$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $|\sqrt[N]{\frac{1}{N^N}} [/mm] - 1| = [mm] |\frac{1}{N} [/mm] - 1| [mm] \ge [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{N} \ge [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{n_1} [/mm] = [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Somit ist (*) für [mm] $x:=\frac{1}{N^N} \in [/mm] [0,1]$ nicht erfüllt.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Mo 07.06.2004 | | Autor: | franky |
ich danke euch vielmals für eure hilfe!!!
julius, gehe ich an die gleichmäßige konvergenz immer auf diese art und weise ran?
ganz lieben gruß.
franky
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gleichmäßige Konvergenz