pyth. Tripel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gibt es rechtwinklige Dreiecke, deren Umfang und Flächeninhalt übereinstimmen? |
Hallo zusammen,
Ich denke es geht in Richtung pythagoräische Tripel, die nicht primitiv sein müssen. Die kann ich beschreiben durch:
x = 2 [mm] \cdot [/mm] k [mm] \cdot p \cdot [/mm] q
y = k [mm] \cdot (p^2 [/mm] - [mm] q^2)
[/mm]
z = k [mm] \cdot (p^2 [/mm] + [mm] q^2)
[/mm]
für p, q teilerfremd, ...
Außerdem soll gelten:
x + y + z [mm] = \frac{xy}{2}
[/mm]
Ich habe schon einiges rumgerechnet, komme aber irgendwie weder auf ein Dreieck, noch auf einen Beweis für die Nichtexistenz.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen,
Grüße und vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 So 29.01.2012 | | Autor: | abakus |
6, 8, 10
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Gibt es noch andere?
Bzw. präzise gefragt:
Wie viele gibt es und wie kann man zeigen, dass man alle gefunden hat?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 So 29.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gibt es noch andere?
> Bzw. präzise gefragt:
> Wie viele gibt es und wie kann man zeigen, dass man alle
> gefunden hat?
Rechne doch mal ein wenig.
Wenn du ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten $x, y, z$ hast, dann gilt $z = [mm] \sqrt{x^2 + y^2}$ [/mm] (Pythagoras).
Damit muss $x + y + [mm] \sqrt{x^2 + y^2} [/mm] = [mm] \frac{xy}{2}$ [/mm] gelten.
Das ist aequivalent (unter der Annahme $x, y > 0$) zu $(x - 4) (y - 4) = 8$. Damit kannst du jetzt alle Paare $(x, y)$ hinschreiben.
Wenn du noch moechtest, dass $x, y, z [mm] \in \IZ$ [/mm] ist, benoetigst du pythagoraeische Tripel. Aber davon steht in der Aufgabenstellung nichts - falls du sie komplett wiedergegeben hast.
LG Felix
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Vielen herzlichen Dank euch allen, für die schnelle Beantwortung meiner Frage(n).
Ich entschuldige mich für die etwas schlampige Aufgabenstellung, ich habe mich das gerade selbst gefragt, war also keine Aufgabe.
Es ging mir also tatsächlich um die Maßzahlen und ganze Zahlen.
Vielen Dank noch mal!
lg
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> Gibt es rechtwinklige Dreiecke, deren Umfang und
> Flächeninhalt übereinstimmen?
Hallo,
so wie die Frage gestellt ist, würde ich sofort und ohne
jegliche Rechnung klar "NEIN!" sagen, denn eine Strecken-
länge (oder eine Summe von Streckenlängen) kann NIE
mit einem Flächeninhalt übereinstimmen.
Man müsste korrekterweise von den Maßzahlen von
Umfang und Flächeninhalt (bei vorgegebenen Maßeinheiten)
sprechen.
LG Al-Chw.
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