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| Aufgabe | [mm] (M_n(\IC),*) [/mm] sei die Menge der [mm] n\times [/mm] n-Matrizen mit Multiplikation als Verknüpfung.
Ist [mm] (M_n(\IC),*) [/mm] eine Gruppe? Beweisen Sie Ihre Aussage. |
Guten Morgen, ich habe ein kleines Problem bei obiger Aufgabe und vielleicht könnt Ihr mir da helfen. DANKE schon mal im Voraus.
Um zzg., dass [mm] (M_n(\IC),*) [/mm] eine Gruppe bildet muss ich folgendes zeigen:
i) Abgeschlossenheit, also [mm] A,B\in (M_n(\IC),*), [/mm] dann auch [mm] (A*B)\in (M_n(\IC),*)
[/mm]
ii) Assoziativität, d.h. A,B,C [mm] \in (M_n(\IC),*), [/mm] dann gilt (A*B)*C=A*(B*C)
iii) neutrales Element, d.h. es existiert ein [mm] I\in (M_n(\IC),*) [/mm] mit A*I=I*A=A
iv) inverses Element, d.h. es existiert ein [mm] A^{-1}\in (M_n(\IC),*) [/mm] mit [mm] A*A^{-1}=A^{-1}*A=I
[/mm]
Meines erachtens nach scheitert es an iv), da das inverse einer Matrix nur dann exsistiert, wenn deren Determinante [mm] \not= [/mm] 0 ist. Was ich aber hier nicht in allgmeiene sagen kann.
Ist die Argumentation so okay, oder hab ich was übersehen.
Liebe Grüße Susi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Di 25.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> [mm](M_n(\IC),*)[/mm] sei die Menge der [mm]n\times[/mm] n-Matrizen mit
> Multiplikation als Verknüpfung.
> Ist [mm](M_n(\IC),*)[/mm] eine Gruppe? Beweisen Sie Ihre Aussage.
> Guten Morgen, ich habe ein kleines Problem bei obiger
> Aufgabe und vielleicht könnt Ihr mir da helfen. DANKE
> schon mal im Voraus.
>
> Um zzg., dass [mm](M_n(\IC),*)[/mm] eine Gruppe bildet muss ich
> folgendes zeigen:
> i) Abgeschlossenheit, also [mm]A,B\in (M_n(\IC),*),[/mm] dann auch
> [mm](A*B)\in (M_n(\IC),*)[/mm]
> ii) Assoziativität, d.h. A,B,C [mm]\in (M_n(\IC),*),[/mm]
> dann gilt (A*B)*C=A*(B*C)
> iii) neutrales Element, d.h. es existiert ein [mm]I\in (M_n(\IC),*)[/mm]
> mit A*I=I*A=A
> iv) inverses Element, d.h. es existiert ein [mm]A^{-1}\in (M_n(\IC),*)[/mm]
> mit [mm]A*A^{-1}=A^{-1}*A=I[/mm]
>
> Meines erachtens nach scheitert es an iv), da das inverse
> einer Matrix nur dann exsistiert, wenn deren Determinante
> [mm]\not=[/mm] 0 ist. Was ich aber hier nicht in allgmeiene sagen
> kann.
>
> Ist die Argumentation so okay,
Ja
> oder hab ich was
> übersehen.
Nein
FRED
>
> Liebe Grüße Susi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Di 25.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
Nur im Falle n=0 liegt eine Gruppe vor.
Für $n>0$ ist die 0-Matrix ein Beispiel für ein Element von [mm] $M_n(\IC)$, [/mm] das kein multiplikativ Inverses besitzt.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Di 25.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
>
> Nur im Falle n=0 liegt eine Gruppe vor.
Hallo Tobias,
was für Objekte sind denn in [mm] M_0(\IC) [/mm] ???
> Für [mm]n>0[/mm] ist die 0-Matrix ein Beispiel für ein Element
> von [mm]M_n(\IC)[/mm], das kein multiplikativ Inverses besitzt.
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Di 25.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hi Fred!
> was für Objekte sind denn in [mm]M_0(\IC)[/mm] ???
Genau eines, nämlich die eindeutig bestimmte [mm] $0\times [/mm] 0$-Matrix.
Vermutlich willst du per Definitionem [mm] $M_0(\IC)$ [/mm] verbieten?
Das halte ich nicht für sinnvoll.
Erstes Argument: Warum soll man eine Definition künstlich einschränken, wenn sie genauso gut auch ohne diese Einschränkung funktioniert?
Zweites Argument: Zentrale Motivation zur Einführung von Matrizen ist die Repräsentation linearer Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen.Wenn man nun nur [mm] $n\times [/mm] m$-Matrizen für [mm] $n,m\ge [/mm] 1$ zulässt, muss man ständig mitdenken: Die Repräsentation linearer Abbildungen endlich-dimensionaler Vektorräume durch Matrizen funktioniert nur, wenn die beteiligten Vektorräume Dimensionen $>0$ besitzen. Alle gewonnenen Erkenntnisse sind dann nur auf solche Vektorräume anwendbar. Das führt zu eigentlich völlig überflüssigen Fallunterscheidungen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Di 25.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred!
>
>
> > was für Objekte sind denn in [mm]M_0(\IC)[/mm] ???
> Genau eines, nämlich die eindeutig bestimmte [mm]0\times 0[/mm]-Matrix.
>
>
Hallo Tobias,
> Vermutlich willst du per Definitionem [mm]M_0(\IC)[/mm] verbieten?
Nö, will ich nicht.
Gruß FRED
> Das halte ich nicht für sinnvoll.
>
> Erstes Argument: Warum soll man eine Definition künstlich
> einschränken, wenn sie genauso gut auch ohne diese
> Einschränkung funktioniert?
>
> Zweites Argument: Zentrale Motivation zur Einführung von
> Matrizen ist die Repräsentation linearer Abbildungen
> zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen.Wenn man nun
> nur [mm]n\times m[/mm]-Matrizen für [mm]n,m\ge 1[/mm] zulässt, muss man
> ständig mitdenken: Die Repräsentation linearer
> Abbildungen endlich-dimensionaler Vektorräume durch
> Matrizen funktioniert nur, wenn die beteiligten
> Vektorräume Dimensionen [mm]>0[/mm] besitzen. Alle gewonnenen
> Erkenntnisse sind dann nur auf solche Vektorräume
> anwendbar. Das führt zu eigentlich völlig überflüssigen
> Fallunterscheidungen.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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