quadratische Reste < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 So 08.06.2014 | | Autor: | huberT |
| Aufgabe | Zeige, dass die Kongruenz
(X² - 13) * (X² - 17) * (X² - 221) [mm] \equiv [/mm] 0 mod p
für jede Primzahl p lösbar ist. |
In einer Teilaufgabe zuvor sollte ich zeigen, dass wenn n eine natürliche Zahl ist, so dass 2n - 1 eine Primzahl ist folgendes gilt:
Gilt 2n-1 [mm] \equiv \pm1 [/mm] mod 8, so ist n ein quadratischer Rest modulo 2n - 1. Das habe ich auch hinbekommen.
Nun gilt 13 = 2*7 - 1 und 17 = 2*9 - 1, also 13 und 17 sind von der Form 2n - 1, mit [mm] n\in\IN [/mm] so dass 2n - 1 eine Primzahl ist. Weiter ist 221 = 13*17 und
17 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 8.
Ich muss doch jetzt zeigen, dass für jede Primzahl p gilt 13 und 17 sind quadratische Reste modulo p oder? Aber wie hilft mir das was ich schon herausgefunden habe weiter oder wie kann ich die Aufgabe sonst lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 So 08.06.2014 | | Autor: | hippias |
Ich meine das vorherige Ergebnis wird nicht gebraucht; auch die spezielle Wahl der Zahlen dient wohl nur der Verwirrung. Nimm mal an, dass $13$ und $17$ keine Quadrate modulo $p$ sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 08.06.2014 | | Autor: | huberT |
Wenn 13 und 17 keine quadratischen reste modulo p sind, dann gilt mit dem Legendre Symbol
[mm] (\bruch{13}{p}) [/mm] = -1 = [mm] (\bruch{17}{p})
[/mm]
Für 221 gilt dann
[mm] (\bruch{221}{p}) [/mm] = [mm] (\bruch{13}{p})*(\bruch{17}{p}) [/mm] = (-1)*(-1) = 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 08.06.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wenn 13 und 17 keine quadratischen reste modulo p sind,
> dann gilt mit dem Legendre Symbol
>
> [mm](\bruch{13}{p})[/mm] = -1 = [mm](\bruch{17}{p})[/mm]
>
> Für 221 gilt dann
>
> [mm](\bruch{221}{p})[/mm] = [mm](\bruch{13}{p})*(\bruch{17}{p})[/mm] =
> (-1)*(-1) = 1
Genau. Also...?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mo 09.06.2014 | | Autor: | huberT |
moin ;)
also ist die aufgabe gelöst :)
denn wenn 13 und 17 quadratische reste modulo p sind besitzt die kongruenz eine lösung.
und wenn 13 und 17 nichtreste sind auch, weil dann 221 wegen
[mm] (\bruch{221}{p}) [/mm] = [mm] (\bruch{13}{p})*(\bruch{17}{p}) [/mm] = 1
ein quadratischer rest modulo p ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Di 10.06.2014 | | Autor: | huberT |
super vielen dank für die Hilfe! :)
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