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Forum "Zahlentheorie" - quadratische Reste
quadratische Reste < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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quadratische Reste: Kongruenz lösen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:21 So 08.06.2014
Autor: huberT

Aufgabe
Zeige, dass die Kongruenz

(X² - 13) * (X² - 17) * (X² - 221) [mm] \equiv [/mm] 0 mod p

für jede Primzahl p lösbar ist.

In einer Teilaufgabe zuvor sollte ich zeigen, dass wenn n eine natürliche Zahl ist, so dass 2n - 1 eine Primzahl ist folgendes gilt:

Gilt 2n-1 [mm] \equiv \pm1 [/mm] mod 8, so ist n ein quadratischer Rest modulo 2n - 1. Das habe ich auch hinbekommen.

Nun gilt 13 = 2*7 - 1 und 17 = 2*9 - 1, also 13 und 17 sind von der Form 2n - 1, mit [mm] n\in\IN [/mm] so dass 2n - 1 eine Primzahl ist. Weiter ist 221 = 13*17 und
17 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 8.
Ich muss doch jetzt zeigen, dass für jede Primzahl p gilt 13 und 17 sind quadratische Reste modulo p oder? Aber wie hilft mir das was ich schon herausgefunden habe weiter oder wie kann ich die Aufgabe sonst lösen?

        
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quadratische Reste: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 So 08.06.2014
Autor: hippias

Ich meine das vorherige Ergebnis wird nicht gebraucht; auch die spezielle Wahl der Zahlen dient wohl nur der Verwirrung. Nimm mal an, dass $13$ und $17$ keine Quadrate modulo $p$ sind.

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quadratische Reste: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 So 08.06.2014
Autor: huberT

Wenn 13 und 17 keine quadratischen reste modulo p sind, dann gilt mit dem Legendre Symbol

[mm] (\bruch{13}{p}) [/mm] = -1 = [mm] (\bruch{17}{p}) [/mm]

Für 221 gilt dann

[mm] (\bruch{221}{p}) [/mm] = [mm] (\bruch{13}{p})*(\bruch{17}{p}) [/mm] = (-1)*(-1) = 1

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quadratische Reste: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 So 08.06.2014
Autor: felixf

Moin!

> Wenn 13 und 17 keine quadratischen reste modulo p sind,
> dann gilt mit dem Legendre Symbol
>  
> [mm](\bruch{13}{p})[/mm] = -1 = [mm](\bruch{17}{p})[/mm]
>  
> Für 221 gilt dann
>  
> [mm](\bruch{221}{p})[/mm] = [mm](\bruch{13}{p})*(\bruch{17}{p})[/mm] =
> (-1)*(-1) = 1

Genau. Also...?

LG Felix


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quadratische Reste: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Mo 09.06.2014
Autor: huberT

moin ;)
also ist die aufgabe gelöst :)

denn wenn 13 und 17 quadratische reste modulo p sind besitzt die kongruenz eine lösung.
und wenn 13 und 17 nichtreste sind auch, weil dann 221 wegen

[mm] (\bruch{221}{p}) [/mm] = [mm] (\bruch{13}{p})*(\bruch{17}{p}) [/mm] = 1

ein quadratischer rest modulo p ist.

Bezug
                                        
Bezug
quadratische Reste: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Mo 09.06.2014
Autor: felixf

Moin!

> moin ;)
>  also ist die aufgabe gelöst :)

Genau ;-)

> denn wenn 13 und 17 quadratische reste modulo p sind
> besitzt die kongruenz eine lösung.
> und wenn 13 und 17 nichtreste sind auch, weil dann 221
> wegen
>
> [mm](\bruch{221}{p})[/mm] = [mm](\bruch{13}{p})*(\bruch{17}{p})[/mm] = 1
>  
> ein quadratischer rest modulo p ist.

[ok]

Und wenn du das erste "und" durch ein "oder" ersetzt, musst du nicht noch den Fall beachten, dass entweder 13 oder 17 ein quadratischer Rest modulo $p$ ist ;-)

LG Felix



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quadratische Reste: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:13 Di 10.06.2014
Autor: huberT

super vielen dank für die Hilfe! :)

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