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| Aufgabe | a) Blden sie von jeder der folgenden Aussagen die Verneinung und stellen sie fest, ob jeweils die Aussage selbst oder ihre Verneinung wahr ist (mit Begründung).
$ i)$ $ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IQ \exists [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : x+y= 0 $
$ii)$ $ [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IQ \forall [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : x*y=0 $
$ iii)$ $ [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN \foral [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] : m>n$
b) Bilden sie die Negation der folgenden Aussagen und vereinfachen sie Das Ergebnis:
i) ich fahre mit dem Bus zur Uni,wenn es regnet
ii) Für jeden Studierenden gibt es eine Speise in der Mensa,die ihm schmeckt
c) Zeigen sie durch direkten Beweis: Wenn $ n$ eine ungerade natürliche Zahl ist,dann ist [mm] $n^2$ [/mm] ungerade |
a)
[mm] i)$\neg (\forall [/mm] x [mm] \in \IQ \exists [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : x+y= 0 ) [mm] =\exists [/mm] x [mm] \in \IQ \forall [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : x+y [mm] \neq [/mm] 0) $
die negation ist richtig weil $3+5 [mm] \neq [/mm] 0$
[mm] ii)$\neg (\exists [/mm] x [mm] \in \IQ \forall [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : x*y=0 )= [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IQ \exists [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : x*y [mm] \neq [/mm] 0$
die verneinung ist richtig denn $2*5 [mm] \neq [/mm] 0$
b) ich fahre mit dem Bus ,wenn es regnet
Negation: ich fahre nicht mit dem Bus,wenn es nicht regnet
Ich fahre nicht mit dem Bus [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es regnet nicht
ii) Es existiert für einen Studierenden in der mensa eine speise,die ihm nicht schmeckt
vereinfachung: [mm] $\exists$ [/mm] Studierender mit einer Speise in der Mensa: die ihm nicht schmeckt.
c) $n [mm] \in \IN$ [/mm] und$n$ ungerade [mm] $\Rightarow [/mm] n= 2k+1$ mit $k [mm] \in \IN \Rightarrow (2k+1)^2= 4k^2+4k+1\Rightarrow$ [/mm] ungerade.
ist das so gut?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Fr 17.04.2015 | | Autor: | chrisno |
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> i)[mm]\neg (\forall x \in \IQ \exists y \in \IQ : x+y= 0 ) =\exists x \in \IQ \forall y \in \IQ : x+y \neq 0)[/mm]
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> die negation ist richtig weil [mm]3+5 \neq 0[/mm]
Die ursprüngliche Aussage in Langform: Zu jedem x aus Q gibt es ein y aus Q, so dass x+y=0.
Naja, das y gibt es, denn es heißt -x. Also ist diese Aussage wahr. Dann muss die Negation falsch sein.
Die Negation in Langform: Es gibt ein x aus Q, so dass für jedes y aus Q gilt x+y=0
Du musst also zeigen, dass alle y aus Q zu x addiert Null ergeben. Das wird Dir nicht gelingen, da es ja eines gibt.
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> ii)[mm]\neg (\exists x \in \IQ \forall y \in \IQ : x*y=0 )= \forall x \in \IQ \exists y \in \IQ : x*y \neq 0[/mm]
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> die verneinung ist richtig denn [mm]2*5 \neq 0[/mm]
genau so falsch wie i)
Für alle x aus Q gibt es ein y so dass xy nicht Null wird. Mir fällt da sofort ein x ein, für das das Ergebnis immer Null ist.
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> b) ich fahre mit dem Bus ,wenn es regnet
Das würde ich erst einmal in die wenn - dann Formulierung bringen:
Wenn es regnet, dann fahre ich mit dem Bus.
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> Negation: ich fahre nicht mit dem Bus,wenn es nicht regnet
Die Negation lautet erst einmal: Es gilt nicht: Wenn es regnet, dann fahre ich mit dem Bus.
Nun bist Du dran.
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> Ich fahre nicht mit dem Bus [mm]\Rightarrow[/mm] es regnet nicht
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> ii) Es existiert für einen Studierenden in der mensa eine
> speise,die ihm nicht schmeckt
>
> vereinfachung: [mm]\exists[/mm] Studierender mit einer Speise in der
> Mensa: die ihm nicht schmeckt.
Da hast Du den Quantor vor der Speise nicht geändert.
>
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> c) [mm]n \in \IN[/mm] und[mm]n[/mm] ungerade [mm]\Rightarow n= 2k+1[/mm] mit [mm]k \in \IN \Rightarrow (2k+1)^2= 4k^2+4k+1\Rightarrow[/mm]
> ungerade.
Das ist zu kurz. Es ist nicht schwer, es zu vervollständigen, insbesondere, wenn Du schon geeignete Sätze hast. Du musst zeigen: [mm] $4k^2$ [/mm] ist gerade, 4k ist gerade und dass die Summe aus zwei geraden und einer ungeraden Zahl ungerade ist.
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> ist das so gut?
Nein
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hallo danke für die korrektur
ist $ [mm] \neg (\forall [/mm] x [mm] \in \IQ \exists [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : x+y= 0 ) [mm] =\exists [/mm] x [mm] \in \IQ \forall [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : x+y [mm] \neq [/mm] 0) $ korrekt notiert?
dann wäre ja i) die vorherige Aussage richtig,wenn ich das nochmal rekapitulieren darf ,wie gesagt weil 2+-2 \ neq 0 ist eine falsche aussage ! also ist i) in der ursprünglichen nicht negierten form richtig?
ii) Aussage:
Wenn es regnet .fahre ich mit dem Bus zur uni
Es gilt nicht: wenn es regnet ,fahre mit dem Bus zur uni
= wenn es regnet,fahre ich nicht mit dem Bus zur uni.
genau hier auch ist die negation formal korrekt?
$ [mm] \neg (\exists [/mm] x [mm] \in \IQ \forall [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : [mm] x\cdot{}y=0 [/mm] )= [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IQ \exists [/mm] y [mm] \in \IQ [/mm] : [mm] x\cdot{}y \neq [/mm] 0 $
die verneing ist falsch da für x=0 , x*y [mm] \neq [/mm] 0 diese aussage nicht stimmt ,denn sie ist immer gleich 0 wenn x=0
b)i)
[mm] $\neg (\exists [/mm] n [mm] \in \IN \forall [/mm] m [mm] \in \IN: [/mm] m>n)= [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN \exists [/mm] m [mm] \in \IN: [/mm] m [mm] \le [/mm] n$
die Neagtion ist richtig ,denn beim ersten könnte ich $n = 1$ und $m=0$ wähle und 0>1 ist eine falsche aussage!
ii) Für jeden Studierenden gibt es eine Speise in der Mensa,die ihm schmeckt
vereinfachung . [mm] $\forall$ [/mm] studierenden [mm] $\exists$ [/mm] Speise in der Mensa $: $ die ihm schmeckt
verneinung $ [mm] \exists$ [/mm] Studierender [mm] $\forall$ [/mm] Speise in der Mensa $:$ die ihm nicht schmeckt
c)
$ k [mm] \in \IN \Rightarrow (2k+1)^2= 4k^2+4k+1\Rightarrow [/mm] $
ja [mm] 4k^2 [/mm] = (2k*2k) und das ist doch gerade und 4k ist auch gerade und zwei gerade zahlen zusammen addiert ergibt auch wie eine gerade zahl,hinzu kommt die 1 die ungerade ist und somit wird das ganze ding ungerade.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Sa 18.04.2015 | | Autor: | chrisno |
> hallo danke für die korrektur
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> ist [mm]\neg (\forall x \in \IQ \exists y \in \IQ : x+y= 0 ) =\exists x \in \IQ \forall y \in \IQ : x+y \neq 0)[/mm]
> korrekt notiert?
ja
>
> dann wäre ja i) die vorherige Aussage richtig,wenn ich das
> nochmal rekapitulieren darf ,wie gesagt weil 2+-2 \ neq 0
> ist eine falsche aussage ! also ist i) in der
> ursprünglichen nicht negierten form richtig?
so ist es
>
> ii) Aussage:
>
> Wenn es regnet .fahre ich mit dem Bus zur uni
>
> Es gilt nicht: wenn es regnet ,fahre mit dem Bus zur uni
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> = wenn es regnet,fahre ich nicht mit dem Bus zur uni.
Nein: es regnet und ich fahre mit dem Bus zur Uni. schau mal hier
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=89434&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D1%26ved%3D0CCIQFjAA
>
> genau hier auch ist die negation formal korrekt?
>
> [mm]\neg (\exists x \in \IQ \forall y \in \IQ : x\cdot{}y=0 )= \forall x \in \IQ \exists y \in \IQ : x\cdot{}y \neq 0[/mm]
>
> die verneing ist falsch da für x=0 , x*y [mm]\neq[/mm] 0 diese
> aussage nicht stimmt ,denn sie ist immer gleich 0 wenn x=0
so stimmt es
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> b)i)
>
> [mm]\neg (\exists n \in \IN \forall m \in \IN: m>n)= \forall n \in \IN \exists m \in \IN: m \le n[/mm]
>
> die Neagtion ist richtig ,denn beim ersten könnte ich [mm]n = 1[/mm]
> und [mm]m=0[/mm] wähle und 0>1 ist eine falsche aussage!
Formuliere die Aussagen mal sprachlich und denk dann in Ruhe nach.
>
>
> ii) Für jeden Studierenden gibt es eine Speise in der
> Mensa,die ihm schmeckt
>
>
> vereinfachung . [mm]\forall[/mm] studierenden [mm]\exists[/mm] Speise in der
> Mensa [mm]:[/mm] die ihm schmeckt
>
> verneinung [mm]\exists[/mm] Studierender [mm]\forall[/mm] Speise in der Mensa
> [mm]:[/mm] die ihm nicht schmeckt
sprachlich nun holprog, aber richtig
> c)
> [mm]k \in \IN \Rightarrow (2k+1)^2= 4k^2+4k+1\Rightarrow[/mm]
>
> ja [mm]4k^2[/mm] = (2k*2k) und das ist doch gerade
Das hängt davon ab, ob Du das schon bewiesen hast, dass das Produkt zweier geraden Zahlen wieder gerade ist. Hast Du es? Dass es offensichtlich ist, reicht nicht aus.
> und 4k ist auch
> gerade und zwei gerade zahlen zusammen addiert ergibt auch
> wie eine gerade zahl,
Das hängt davon ab, ob Du das schon bewiesen hast, dass die Summe zweier geraden Zahlen wieder gerade ist. Hast Du es? Dass es offensichtlich ist, reicht nicht aus.
> hinzu kommt die 1 die ungerade ist und
Auch hier musst Du vorsichtig sein. Ich denke, es gibt kein Problem. Wie sind gerade und ungerade Zahlen definiert?
> somit wird das ganze ding ungerade.
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also wäre die negation dann
es regnet und ich fahre nicht mit dem Bus zur uni.
b)i)
es gibt ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] für alle $m [mm] \in \IN$ [/mm] , sodass $m$ echt größer als $n$ ist.
negation
für alle $ n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt es $m [mm] \in \IN$ [/mm] , sodass $ m$ kleiner oder gleich $n$ ist.
die normale behauptung ist richtig, da bei der negation genau ein m gibt für das alle anderen kleiner oder gleich sein müssen also z.bsp ich nehme $m =2$ und das muss kleiner oder gleich alle anderen n sein aber $ n$ kann ja auch $n=1$ sein.
c) gerade zahl ist so definiert $n$ gerade $= 2k$ ,$ [mm] k\in \IZ$ [/mm] und ungerade $n$ ungerade $= 2k+1 [mm] k\in \IZ$
[/mm]
also n ist ungerade $n = 2k+1$ mit [mm] $k\in \IN \Rightarrow n^2= (2k+1)^2= 4k^2+4k+1 [/mm] = (2k*2k)+2*2k+1$ so hier steht in der ersten klammer $2k*2k$ ,beide komponenten sind gerade und da hinter steht $2*2k$ das auch wieder gerade ist und dann plus $1$ was es ungerade macht. ich werd wahnsinnig wie soll ich das denn begründen,dass ich doch offensichtlich für mich :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 So 19.04.2015 | | Autor: | chrisno |
> also wäre die negation dann
>
> es regnet und ich fahre nicht mit dem Bus zur uni.
ja
>
>
> b)i)
>
> es gibt ein [mm]n \in \IN[/mm] für alle [mm]m \in \IN[/mm] , sodass [mm]m[/mm] echt
> größer als [mm]n[/mm] ist.
So eine Zahl gibt es nicht, denn da es für alle [mm]m \in \IN[/mm] gilt, muss es auch für n gelten. n aber ist nicht echt kleiner als n.
>
> negation
>
> für alle [mm]n \in \IN[/mm] gibt es [mm]m \in \IN[/mm] , sodass [mm]m[/mm] kleiner
> oder gleich [mm]n[/mm] ist.
>
> die normale behauptung ist richtig,
s.o.
> da bei der negation
> genau ein m gibt für das alle anderen kleiner oder gleich
> sein müssen also z.bsp ich nehme [mm]m =2[/mm] und das muss
> kleiner oder gleich alle anderen n sein aber [mm]n[/mm] kann ja auch
> [mm]n=1[/mm] sein.
Die Argumentation verstehe ich nicht. Du must anfangen:
Ich habe ein (irgendein n. Dann wähle ich m wie folgt: m = n
Dieses m ist (offensichtlich) [mm] $\le$ [/mm] n.
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>
> c) gerade zahl ist so definiert [mm]n[/mm] gerade [mm]= 2k[/mm] ,[mm] k\in \IZ[/mm]
> und ungerade [mm]n[/mm] ungerade [mm]= 2k+1 k\in \IZ[/mm]
>
>
> also n ist ungerade [mm]n = 2k+1[/mm] mit [mm]k\in \IN \Rightarrow n^2= (2k+1)^2= 4k^2+4k+1 = (2k*2k)+2*2k+1[/mm]
> so hier steht in der ersten klammer [mm]2k*2k[/mm] ,beide
> komponenten sind gerade und da hinter steht [mm]2*2k[/mm] das auch
> wieder gerade ist und dann plus [mm]1[/mm] was es ungerade macht.
> ich werd wahnsinnig wie soll ich das denn begründen,dass
> ich doch offensichtlich für mich :/
Du musst [mm]2k*2k[/mm] in die Form [mm]2k'[/mm] mit $k' [mm] \in \IZ$ [/mm] bringen.
Das geht leicht: [mm]2k*2k = 2*(k*2*k)[/mm]. Da nun $k' = k*2*k [mm] \in \IZ$, [/mm] ist
[mm]2k*2k = 2*k'[/mm] gerade.
Genau so geht es für 4k. Ähnlich für die Summe zweier geraden Zahlen. Der Abschluss folgt dann direkt aus der Definition einer ungeraden Zahl.
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