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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:09 So 14.04.2013 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | Gib eine Aussageform [mm] $\varphi [/mm] (x,y)$, $x, y [mm] \in \IR$ [/mm] an, so dass die Aussagen nicht gelten.
a) [mm] $\exists [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \varphi [/mm] (x,y) [mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x,x)$,
b) [mm] $\forall \varphi [/mm] (x,x) [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \varphi [/mm] (x,y)$. |
Zuerst weiß ich nicht was mit [mm] $\varphi [/mm] (x,x)$ gemeint ist. Das habe ich noch nie gesehen. Geht es einfach nur um eine Aussageform, bei der das $x$ zwei Mal vorkommt?
Beispiel:
[mm] $\varphi [/mm] (x) = [mm] (x^2 [/mm] = -1)$
[mm] $\varphi [/mm] (x,x) = (x<x)$.
Ich mache nen Ansatz:
a) [mm] $(\exists [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \varphi [/mm] (x,y) [mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x,x))$ muss falsch sein, die Negation muss also richtig sein.
Die Negation [mm] $\exists [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \varphi [/mm] (x,y) [mm] \wedge \forall [/mm] x [mm] \neg \varphi [/mm] (x,x)$
Beide Aussagen müssen falsch sein. Da aber in der Aufgabe nur [mm] $\varphi [/mm] (x,y)$ verlangt wird, kann ich mir [mm] $\varphi [/mm] (x,x)$ sparen.
Z.B. [mm] $\varphi [/mm] (x,y) = (x =y)$ oder $(x [mm] \neq [/mm] y)$.
b) Ich weiß nicht warum hier nur [mm] $\forall$ [/mm] ohne $x$ steht. Vielleicht ist es ein Tippfehler in meinem Skript.
Analog, d.h. ich bilde die Negation:
[mm] $\forall \varphi(x,x) \wedge \exists [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \neg \varphi [/mm] (x,y)$.
Wie bei a). Beide müssen richtig sein. Ich spare mir [mm] $\varphi [/mm] (x,x)$.
Z.B. [mm] $\varphi [/mm] (x,y) = (x=y)$ oder $(x [mm] \neq [/mm] y)$.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 So 14.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ne1,
> Gib eine Aussageform [mm]\varphi (x,y)[/mm], [mm]x, y \in \IR[/mm] an, so
> dass die Aussagen nicht gelten.
> a) [mm]\exists x \exists y \varphi (x,y) \Rightarrow \exists x \varphi (x,x)[/mm],
>
> b) [mm]\forall \varphi (x,x) \Rightarrow \forall x \forall y \varphi (x,y)[/mm].
> Zuerst weiß ich nicht was mit [mm]\varphi (x,x)[/mm] gemeint ist.
> Das habe ich noch nie gesehen. Geht es einfach nur um eine
> Aussageform, bei der das [mm]x[/mm] zwei Mal vorkommt?
> Beispiel:
> [mm]\varphi (x) = (x^2 = -1)[/mm]
> [mm]\varphi (x,x) = (x
Nein, [mm] $\varphi(x,x)$ [/mm] bedeutet "$x$ für $y$ eingesetzt in [mm] $\varphi(x,y)$". [/mm] Dazu ein Beispiel: Sei $X$ die Menge der Matheraum-User und [mm] $\varphi(x,y):=x\text{ hat das gleiche Geschlecht wie }y$ [/mm] für [mm] $x,y\in [/mm] X$. Dann ist [mm] $\varphi(x,x)$ [/mm] die Aussageform [mm] $x\text{ hat das gleiche Geschlecht wie }x$ [/mm] (die für alle [mm] $x\in [/mm] X$ wahr ist). [mm] $\varphi(\text{ne1},\text{tobit09})$ [/mm] wäre z.B. die Aussage "ne1 hat das gleiche Geschlecht wie tobit09" (deren Wahrheitswert ich nicht weiß...  ).
> Ich mache nen Ansatz:
>
> a) [mm](\exists x \exists y \varphi (x,y) \Rightarrow \exists x \varphi (x,x))[/mm]
> muss falsch sein, die Negation muss also richtig sein.
> Die Negation [mm]\exists x \exists y \varphi (x,y) \wedge \forall x \neg \varphi (x,x)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sehr schön!
> Beide Aussagen müssen falsch sein.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Da aber in der Aufgabe
> nur [mm]\varphi (x,y)[/mm] verlangt wird, kann ich mir [mm]\varphi (x,x)[/mm]
> sparen.
Wenn du eine Beispiel-Aussageform für [mm] $\varphi(x,y)$ [/mm] wählst, hast du ja automatisch [mm] $\varphi(x,x)$ [/mm] mit festgelegt.
> Z.B. [mm]\varphi (x,y) = (x =y)[/mm] oder [mm](x \neq y)[/mm].
Der Ansatz sieht nicht schlecht aus. Wie kannst du nun [mm] $\varphi(x,y)$ [/mm] wählen, so dass obige Negation zutrifft?
> b) Ich weiß nicht warum hier nur [mm]\forall[/mm] ohne [mm]x[/mm] steht.
> Vielleicht ist es ein Tippfehler in meinem Skript.
Mit Sicherheit soll es [mm] $\forall x\colon\ldots$ [/mm] heißen.
> Analog, d.h. ich bilde die Negation:
> [mm]\forall \varphi(x,x) \wedge \exists x \exists y \neg \varphi (x,y)[/mm].
Bis auf das vergessene $x$ vorne:
> Wie bei a). Beide müssen richtig sein. Ich spare mir
> [mm]\varphi (x,x)[/mm].
> Z.B. [mm]\varphi (x,y) = (x=y)[/mm] oder [mm](x \neq y)[/mm].
Wie kannst du nun [mm] $\varphi(x,y)$ [/mm] wählen, so dass die von dir gefundene Negation zutrifft?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 14.04.2013 | | Autor: | ne1 |
OK, jetzt weiß ich was mit [mm] $\varphi [/mm] (x,x)$ gemeint ist und somit ist die Aufgabe ziemlich einfach.
a) [mm] $\varphi [/mm] (x,y) = (x [mm] \neq [/mm] y)$
b) [mm] $\varphi [/mm] (x,y) = (x=y)$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 So 14.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> OK, jetzt weiß ich was mit [mm]\varphi (x,x)[/mm] gemeint ist und
> somit ist die Aufgabe ziemlich einfach.
>
> a) [mm]\varphi (x,y) = (x \neq y)[/mm]
> b) [mm]\varphi (x,y) = (x=y)[/mm]
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