radioaktives Gleichgewicht < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:05 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Bisl |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll als Hausaufgabe eine Formel für das radioaktive Gleichgewicht herleiten und den Trick 'Variation der Konstanten' dafür hernehmen.
Ich habe bloß überhaupt keine Ahnung, was sich hinter 'Variation der Konstanten' für eine Thematik verbirgt. Ich weiß zwar schon, dass es was mit Differentialgleichung zu tun hat, aber warum wendet man diesen Trick hier an? Und vorallem wie?
Ich wäre sehr dankbar, wenn sich jemand meiner annehmen könnte und einen Rechenweg mit Kommentar zu jeweiligem Rechenschritt machen könnte.
Weiterführende Frage: Ist dieses Gleichgewicht dann nur auf das radioaktive Gleichgewicht bezogen oder kann man damit jegliches Gleichgewicht ausrechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mi 26.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du denn die entsprechende Dgl? Und was weisst du bisher über Lösungen von Dgl?
Sonst müssen wir zu viel unnötiges schreiben.
Ausserdem : um welches Gleichgewicht handelt es sich? Also wer zerfällt in was?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Bisl |
Mutterkern A(t) zerfällt mit
dA/dt = - [mm] Lambda_a [/mm] x A(t) (1)
zu Tochterkern B(t)
B'(t) soll sich angeblich mit
B'(t)=dB/dt=+Lambda_axA(t)-Lambda_bxB(t) (2)
errechnenen lassen, bei dem ich gar nicht weiß, wie mein Physiklehrer darauf kommt, dass [mm] Lambda_a [/mm] einmal negativ und einmal positit ist.
Einen weiteren Rechenschritt gab er uns, indem er uns mit
[mm] dB/dt=-Lambda_b [/mm] x B(t) --> B(t)=C(t)xe^(-lambda x t) (3)
gab.
Rechenschritte (1) und (3) verstehe ich mit dem Background des Zerfallsgesetzes voll und ganz, aber was soll (2) heißen? Wie kann ich ein radioaktives Gleichgewicht hier berechnen? Was steckt hinter dem Trick 'Variation der Konstanten'?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Bisl |
Mutterkern A(t) zerfällt mit
dA/dt = - $ [mm] Lambda_a [/mm] $ x A(t) (1)
zu Tochterkern B(t)
B'(t) soll sich angeblich mit
B'(t)=dB/dt=+Lambda_axA(t)-Lambda_bxB(t) (2)
errechnenen lassen, bei dem ich gar nicht weiß, wie mein Physiklehrer darauf kommt, dass $ [mm] Lambda_a [/mm] $ einmal negativ und einmal positit ist.
Einen weiteren Rechenschritt gab er uns, indem er uns mit
dB/dt= [mm] -Lambda_b [/mm] x [mm] B(t)->B(t)=C(t)xe^{-lambda_b x t} [/mm] (3)
gab.
Rechenschritte (1) und (3) verstehe ich mit dem Background des Zerfallsgesetzes voll und ganz, aber was soll (2) heißen? Wie kann ich ein radioaktives Gleichgewicht hier berechnen? Was steckt hinter dem Trick 'Variation der Konstanten'?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mi 26.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Bisi und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
1. das was A abnimmt, nimmt B zu. Wenn also B nicht zerfiele wäre dB/dt=-dA/dt, daher das positive [mm] \lambda_a
[/mm]
Wenns nur B gibt, dann gilt natürlich
[mm] B'(t)=-\lambda_b*B
[/mm]
also zusammen:
[mm] $B'=-dA/dt-\lambda_b*B$ [/mm] und [mm] $A'=-\lambda_a*A$
[/mm]
zusammen
[mm] $B'=\lambda_a*A-\lambda_b*B$
[/mm]
jetzt kommt die eigentliche Lösung.
wegen [mm] A'=-\lambda_a*A [/mm] folgt [mm] A=A_0*e^{-\lambda_a*t}
[/mm]
eingesetzt
[mm] $B'=\lambda_a*A_0*e^{-\lambda_a*t}-\lambda_b*B$
[/mm]
Den Teil der Differentialgl. der nur B und B' enthält nennt man die homogene Dgl.
Der andere Teil ist der inhomogene Teil.
Wenn man den homogenen Teil lösen kann also die Lösung von [mm] B'=-\lambda_b*B [/mm] kennt, das tust du ja: [mm] B=C*e^{-\lambda_b*t}
[/mm]
kann man indem man C "variiert" eine Lösung der inhomogenen Dgl finden.
man setzt C=C(t) und hat dann [mm] B(t)=C(t)*e^{-\lambda_b*t}
[/mm]
Daraus B' berechnen (Produktregel!), dann in die gesamte Dgl. B und B' einsetzen. der Teil mit C muss rausfallen, es bleibt nur C'(t) und ne Funktion von t übrig. dann aus C' durch Integrieren C(t) ausrechnen. (die Integrationskonstante nicht vergessen.
Dann setzt man B(0)=0 rechnet dadurch die Konstante aus.
jetzt kannst du das Gleichgewicht ausrechnen : B(t)=const.
Versuchs mal, sonst frag noch mal!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Sa 29.09.2007 | | Autor: | Bisl |
Ich kapiere hier etwas noch nicht.
"...das was A abnimmt, nimmt B zu. Wenn also B nicht zerfiele..."
Wenn ich dies jetzt in eine Formel formuliere, würde es doch etwa so aussehen:
B'(t)= -A'(t)+B'(t) (a)
Für A gilt jedoch: [mm] A'(t)=-Lambda_a*A_0 [/mm] (I)
Für B gilt ebenfalls: [mm] B'(t)=-Lambda_b*B_0 [/mm] (II)
(I) und (II) in a eingesetzt bewirkt:
[mm] B'(t)=+Lambda_a*A_0 [/mm] - [mm] Lambda_b*B_0 [/mm] (b)
Da ich ja A(t) bereits mit
[mm] A(t)=A_0*e^-Lambda_a*t [/mm] (III)
kenne, setze ich (III) in (b) ein, was aus (b)--> (b') mit
[mm] B'(t)=+Lambda_a*A_0*e^-Lambda_a*t [/mm] - [mm] Lambda_b*B_0 [/mm] (b')
werden lässt. Da ich weiß, dass sich
B'(t)(=dB/dt)=-Lambda [mm] _b*B_0 [/mm] (IV)
zu
[mm] B(t)=C*e^-Lamba_b*t [/mm] (IV')
herleiten lässt, setze ich in (b') nun (IV') für [mm] B_0 [/mm] ein, was (b') zu (c) werden lässt.
[mm] B'(t)=+Lambda_a*A_0*e^-Lambda_a*t [/mm] - [mm] C*e^-Lambda_b*t [/mm] (c)
Meine folgenden Fragen sind nun alle auf (c) ausgerichtet.
1.) Warum stellt nun [mm] +Lambda_a*A_0*e^-Lambda_a*t [/mm] den homogenen Teil dieser Differentialgleichung dar?
2.) Warum stellt [mm] -C*e^-Lambda_b*t [/mm] den inhomogenen Teil dar?
3.) Was bedeutet hier Homogen bzw. Inhomogen?
Weiter mit der Rechnung.
Nun variiere ich den inhomogenen Teil der Gleichung von (c), was heißt, dass ich aus (c) --> (c') bilde, in dem ich B(t) mit Produktregel ableite.
Die Ableitung von B(t) nach Produktregel wäre ja
[mm] B'(t)=C'*e^-Lambda_b*t [/mm] - [mm] C(t)*(-Lambda_b)*e^-Lambda_b*t.(V)
[/mm]
In (c) eingesetzt, hebt sich hier wegen (IV') [mm] -Lambda_b*B(t) [/mm] gegenseitig auf, ...
!!!!Kapiere ich nicht, da ich Rechenschritt nicht nachvollziehen kann!!! Warum hebt sich wegen (IV') [mm] -Lambda_b*B(t) [/mm] auf???
..., was aus (c') --> (d) mit
[mm] e^-Lambda_b+t [/mm] * C'(t) = [mm] Lambda_a*A(t) [/mm] (d)
(d) mit [mm] e^+Lambda_b*t [/mm] und [mm] Lambda_a*A(t)=Lambda_a*N_0*e^-Lambda_a*t [/mm] multipliziert kommt man auf
[mm] C'(t)=Lambda_a*N_0*e^{Lambda_b-Lambda_b}*t.
[/mm]
Durch Integration dieser Differentialgleichung kommt man von C'(t) auf C(t).
[mm] C(t)=Lambda_a*N_0*1/(Lambda_a-Lambda_b) *e^{Lambda_a-Lambda_b}*t [/mm] + D (e)
Da (c') noch gilt, kann man (e) nun als (f) wie folgt schreiben:
[mm] B(t)=(Lambda_a*N_0*e^{Lambda_b-Lamda_a}*t [/mm] * ...
... * [mm] (e^{Lambda_b-Lambda_a}*t [/mm] + [mm] D)*e^-Lambda_b*t [/mm] (f)
[mm] B(t)=B(t)=(Lambda_a*N_0*e^{Lambda_b-Lamda_a}*t [/mm] * ...
... * [mm] (e^-Lambda_a*t+D*e^-Lambda_b*t) [/mm] (f')
!!!Kapiere ich nicht!!! Durch welche Rechenschritte kommt man überhaupt von (e) auf (f)??? Warum zieht man in (f') nur in eine Klammer das letzte e^... ????
Bei (f') nun t=0 gesetzt, kommt man weiter auf
[mm] B(0)=(Lambda_a*N_0)*(1+D) [/mm] (g)
Setzt man in (g) B(t)=0 (??So richtig??) so erhält man für die Konstante D=-1, was die endgültige Formel zur Berechnung des radioaktiven Gleichgewichts bringt:
[mm] B(t)=(e^-Lambda_a [/mm] - [mm] e^-Lambda_b*t) [/mm] *...
[mm] [b]...*(Lambda_a*N_0)/(Lambda_a [/mm] - [mm] Lambda_b) [/mm] [/b]
Kann sich bitte jemand diesen Eintrag zu Gemüte führen, um mir zum einen meine Fragen zu beantworten und zum anderen meine Rechenschriette zu korrigieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Sa 29.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Bisi
> Ich kapiere hier etwas noch nicht.
Ne Begrüßung und sonst ein nettes Wort gehört eigentlich zum Stil dieses forums!
> "...das was A abnimmt, nimmt B zu. Wenn also B nicht
> zerfiele..."
>
> Wenn ich dies jetzt in eine Formel formuliere, würde es
> doch etwa so aussehen:
>
> B'(t)= -A'(t)+B'(t)
nein sondern B'=-A'
wie du auf das +B' kommst ist mir unklar.
Man kann auch sagen die Anzahl der Kerne bleibt erhalten (wenn du die [mm] \alpha [/mm] Strahlung nicht als Kerne zählst, und das heisst dann A'+B'=0
(a)
>
> Für A gilt jedoch: [mm]A'(t)=-Lambda_a*A_0[/mm] (I)
> Für B gilt ebenfalls: [mm]B'(t)=-Lambda_b*B_0[/mm] (II)
Das ist falsch! [mm] A'(t)=-\lambda_a*A(t)
[/mm]
was du geschrieben hast, hiesse ja es wäre A' konstant!
im obigen hatte ich gesagt, WENN B nicht zerfällt, sodass dann eben B'=-A'
>
> (I) und (II) in a eingesetzt bewirkt:
>
> [mm]B'(t)=+Lambda_a*A_0[/mm] - [mm]Lambda_b*B_0[/mm] (b)
FALSCH SIEHE OBEN B' ist nicht konstant.
> Da ich ja A(t) bereits mit
>
> [mm]A(t)=A_0*e^-Lambda_a*t[/mm]
richtig (III)
>
> kenne, setze ich (III) in (b) ein, was aus (b)--> (b') mit
>
> [mm]B'(t)=+Lambda_a*A_0*e^-Lambda_a*t[/mm] - [mm]Lambda_b*B_0[/mm] (b')
das ist falsch! statt [mm] B_0 [/mm] muss B(t) stehen also
[mm]B'(t)=+\lambda_a*A_0*e^{-\lambda_a*t[/mm] - [mm] \lambda_b*B(t)[/mm] [/mm] (b')
>
> werden lässt. Da ich weiß, dass sich
>
> B'(t)(=dB/dt)=-Lambda [mm]_b*B_0[/mm] (IV)
falsch siehe oben
> zu
>
> [mm]B(t)=C*e^-Lamba_b*t[/mm] (IV')
Das kannst du nur so herleiten, wenn B nur zerfällt, und nichts von A nachkriegt!
also ist es hier falsch!
> herleiten lässt, setze ich in (b') nun (IV') für [mm]B_0[/mm] ein,
> was (b') zu (c) werden lässt.
unter [mm] B_0 [/mm] versteht man eigentlich die Menge von B zur Zeit 0 also [mm] B(0)=B_0 [/mm]
> [mm]B'(t)=+Lambda_a*A_0*e^-Lambda_a*t[/mm] - [mm]C*e^-Lambda_b*t[/mm] (c)
mit allem obigen ist diese Gleichung einfach falsch.
wiederholt: du suchst B(t) wobei du weisst, dass B mehr wird, weil aus A immer neue Bs entstehen , gleichzeitig aber auch B zerfällt.
Der Zerfall von A ist völlig unabhängig davon, wieviel B es gibt, oder wie schnell B zerfällt. deshalb kannst du A(t) bestimmen als [mm] A(t)=A_0*e^{-\lambda_a*t}
[/mm]
aber B(t) kennst du nicht, insbesondere gilt NICHT
[mm] B(T)=B_0*e^{-\lambda_b*t} [/mm] !
>
>
> Meine folgenden Fragen sind nun alle auf (c) ausgerichtet.
>
> 1.) Warum stellt nun [mm]+Lambda_a*A_0*e^-Lambda_a*t[/mm] den
> homogenen Teil dieser Differentialgleichung dar?
Das ist nicht der homogene Teil!
eine allgemeine (lineare) Dgl, erster Ordnung sieht so aus:
a(x)*f'(x)+b(x)*f(x)=c(x)
dabei heisst die Dgl homogen wenn c(x)=0, sonst inhomogen.
wenn a(x) und b(x) noch Konstanten sind hat man immer ne Lösung der homogenen Dgl. [mm] f(x)=A*e^{\lambda*x} [/mm] lambda findet man dann wenn a und b bekannt sind.
> 2.) Warum stellt [mm]-C*e^-Lambda_b*t[/mm] den inhomogenen Teil
> dar?
siehe oben auch das nicht.
Deine richtige Dgl heisst:
[mm] B'(t)+\lambda_b*B(t)=A_0*\lambda_a*e^{-\lambda_a*t}
[/mm]
links ist der homogene Teil, die rechte Seite der inhomogene!
>
> 3.) Was bedeutet hier Homogen bzw. Inhomogen?
Die Worte lernt man einfach, homogen, überall kommt die unbekannte fkt. vor (und ihre Ableitungen) inhomogen es kommt ein Glied ohne die fkt vor.
(ursprünglich kommt der Ausdruck von Gleichungssxstemen
z.Bsp.
ist
x+y=0
2x+3y=0
ein "homogenes gleichungsystem" (nur Unbekannte kommen vor)
x+y=1
2x+3y=3
ist ein inhomogenes Glkeichungssystem)
> Weiter mit der Rechnung.
>
> Nun variiere ich den inhomogenen Teil der Gleichung von
> (c), was heißt, dass ich aus (c) --> (c') bilde, in dem ich
Nein, so sind die Worte falsch.
Du suchst zuerst eine "allgemeine Lösung der homogenen Dgl.
[mm] B'(t)+\lambda_b*B(t)=0
[/mm]
die hast du mit [mm] B(t)=C*e^{-\lambda_b*t}
[/mm]
dann variierst du die Konstante, so nennt man es einfach wenn C nicht mehr konstant ist, sondern von t abhängen kann.
> B(t) mit Produktregel ableite.
>
> Die Ableitung von B(t) nach Produktregel wäre ja
> [mm]B'(t)=C'*e^-Lambda_b*t[/mm] -
> [mm]C(t)*(-Lambda_b)*e^-Lambda_b*t.(V)[/mm]
richtigdas B(t) und B'(t) setzt du jetzt in
[mm] B'(t)+\lambda_b*B(t)=A_0*\lambda_a*e^{-\lambda_a*t}
[/mm]
ein!
tu das jetzt einfach, dann solltest du ne Gleichung für C'(t) haben.
die kannst du dann lösen.
Deine Gleichungen sind sehr schwer zu lesen, bitte benutz den Formeleditor etwa [mm] e^-Lambda_a*t [/mm] ist als [mm] e^{-\lambda_a*t} [/mm] so viel übersichtlicher zu lesen,
Ich hab Schwierigkeiten dein Gl. schnell zu lesen und brech jetzt hier ab, ohne den Rest zu kommentiern. wenn du meine Formeln anklickst, siehst du wie man das besser schreibt.
am Ende mit Vorschau ansehen und sich jemand vorstellen, der das lesen soll!
Gruss leduart
> In (c) eingesetzt, hebt sich hier wegen (IV')
> [mm]-Lambda_b*B(t)[/mm] gegenseitig auf, ...
>
> !!!!Kapiere ich nicht, da ich Rechenschritt nicht
> nachvollziehen kann!!! Warum hebt sich wegen (IV')
> [mm]-Lambda_b*B(t)[/mm] auf???
>
> ..., was aus (c') --> (d) mit
>
> * C'(t) = [mm]Lambda_a*A(t)[/mm] (d)
>
> (d) mit [mm]e^+Lambda_b*t[/mm] und
> [mm]Lambda_a*A(t)=Lambda_a*N_0*e^-Lambda_a*t[/mm] multipliziert
> kommt man auf
>
> [mm]C'(t)=Lambda_a*N_0*e^{Lambda_b-Lambda_b}*t.[/mm]
>
> Durch Integration dieser Differentialgleichung kommt man
> von C'(t) auf C(t).
>
> [mm]C(t)=Lambda_a*N_0*1/(Lambda_a-Lambda_b) *e^{Lambda_a-Lambda_b}*t[/mm]
> + D (e)
>
> Da (c') noch gilt, kann man (e) nun als (f) wie folgt
> schreiben:
> [mm]B(t)=(Lambda_a*N_0*e^{Lambda_b-Lamda_a}*t[/mm] * ...
> ... * [mm](e^{Lambda_b-Lambda_a}*t[/mm] + [mm]D)*e^-Lambda_b*t[/mm] (f)
>
> [mm]B(t)=B(t)=(Lambda_a*N_0*e^{Lambda_b-Lamda_a}*t[/mm] * ...
> ... * [mm](e^-Lambda_a*t+D*e^-Lambda_b*t)[/mm] (f')
>
> !!!Kapiere ich nicht!!! Durch welche Rechenschritte kommt
> man überhaupt von (e) auf (f)??? Warum zieht man in (f')
> nur in eine Klammer das letzte e^... ????
>
> Bei (f') nun t=0 gesetzt, kommt man weiter auf
> [mm]B(0)=(Lambda_a*N_0)*(1+D)[/mm]
> (g)
>
> Setzt man in (g) B(t)=0 (??So richtig??) so erhält man für
> die Konstante D=-1, was die endgültige Formel zur
> Berechnung des radioaktiven Gleichgewichts bringt:
>
> [mm]B(t)=(e^-Lambda_a[/mm] - [mm]e^-Lambda_b*t)[/mm] *...
> [mm][b]...*(Lambda_a*N_0)/(Lambda_a[/mm] - [mm]Lambda_b)[/mm][/b]
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