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Guten Abend,
ich habe eine Verständnisfrage zum Zusammenhang zwischen dem Rang eines freien Moduls und der Dimension von Vektorräumen.
Ich habe gehört, dass "freie Moduln praktisch wie Vektorräume sind", aber gelten auch die üblichen Dimensionsformeln aus der Linearen Algebra? Also insbesondere:
1. Die Dimensionsformel für Faktorräume ([mm]\dim V/U = \dim V - \dim U[/mm])
2. Die Kern-Bild Formel ([mm]\dim V = \dim \Kern f + \dim \Bild f[/mm])
3. Die Dimensionsformel für die Summe von Untervektorräumen:
([mm]\dim V = \dim U_1 + \dim U_2[/mm])
4. etc...
Bleiben die Formeln richtig, wenn man statt einem Vektorraum V "nur" noch einen freien R-Modul V hat und "dim" durch "rang" ersetzt? Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Vielen Dank schonmal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wie ist das? Sind nicht [mm]M = \mathbb{Z}[/mm] und [mm]N = 2 \mathbb{Z}[/mm] freie [mm]\mathbb{Z}[/mm]-Moduln vom Rang 1? [mm]N[/mm] wäre also ein echter Untermodul und hätte trotzdem denselben Rang. Und [mm]M/N[/mm] wäre nicht einmal mehr frei.
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Danke erstmal für die schnelle Antwort.
Bei M und N würde ich dir vorsichtig zustimmen, bei [mm]M/N[/mm] habe ich gerade ein paar Zweifel. Der ist doch frei mit Basis 1 + 2Z, oder?
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Als [mm]\mathbb{Z}[/mm]-Modul ist [mm]M/N[/mm] nicht frei. Denn dann müßte ja [mm]M/N[/mm] isomorph zu [mm]\mathbb{Z}[/mm] sein, was allein schon wegen der Anzahlen nicht geht. Oder anders: [mm]M/N[/mm] wird zwar von [mm]a = 1 + 2 \mathbb{Z}[/mm] erzeugt, aber es bestehen Relationen zwischen den Elementen [mm]na, \, n \in \mathbb{Z}[/mm]:
[mm]a = 3a = 5a = 7a = \ldots[/mm]
[mm]0 = 2a = 4a = 6a = \ldots[/mm]
Bei einem freien [mm]\mathbb{Z}[/mm]-Modul müßten alle diese Elemente aber verschieden sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Mi 16.02.2011 | | Autor: | Oberspacko |
Danke nochmal für dieses Gegenbeispiel. Jetzt ist alles klar. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Di 19.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich habe eine Verständnisfrage zum Zusammenhang zwischen
> dem Rang eines freien Moduls und der Dimension von
> Vektorräumen.
>
> Ich habe gehört, dass "freie Moduln praktisch wie
> Vektorräume sind", aber gelten auch die üblichen
> Dimensionsformeln aus der Linearen Algebra? Also
> insbesondere:
> 1. Die Dimensionsformel für Faktorräume ([mm]\dim V/U = \dim V - \dim U[/mm])
>
> 2. Die Kern-Bild Formel ([mm]\dim V = \dim \Kern f + \dim \Bild f[/mm])
>
> 3. Die Dimensionsformel für die Summe von
> Untervektorräumen:
> ([mm]\dim V = \dim U_1 + \dim U_2[/mm])
> 4. etc...
>
> Bleiben die Formeln richtig, wenn man statt einem
> Vektorraum V "nur" noch einen freien R-Modul V hat und
> "dim" durch "rang" ersetzt? Ich hoffe mir kann jemand
> helfen.
Wenn man "schoene" (endlich erzeugte) Moduln ueber "schoenen" Ringen (z.B. Hauptidealringen) anschaut, teilweise ja. Fuer endlich erzeugte Moduln ueber Hauptidealringen kann man wie bei endlich erzeugten abelschen Gruppen (diese sind ja gerade die endlich erzeugten [mm] $\IZ$-Moduln) [/mm] eine schoene Normalform bekommen, und mit dieser laesst sich der Rang eines jeden endlich erzeugten Moduls definieren. Dieser verhaelt sich dann additiv: hat man eine kurze exakte Sequenz $0 [mm] \to [/mm] A [mm] \to [/mm] B [mm] \to [/mm] C [mm] \to [/mm] 0$, so gilt $rang(A) + rang(C) = rang(B)$. Dies entspricht gerade den Formeln 1. und 2. von dir.
(Und im Beispiel von Leopold_Gast ist auch alles in Ordnung: [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] hat Rang 0.)
Und falls $R$ ein beliebiger Ring ist und du eine kurze exakte Sequenz von freien Moduln $0 [mm] \to [/mm] A [mm] \to [/mm] B [mm] \to [/mm] C [mm] \to [/mm] 0$ hast, dann ist der Rang fuer $A, B, C$ wohldefiniert und dieser sollte eigentlich auch additiv sein, wenn ich gerade nicht irgendwelche pathologischen Faelle uebersehe  Daraus folgen auch die Formeln 1. und 2. bei dir, wenn halt [mm] $Bild\; [/mm] f$ bzw. $V/U$ ebenfalls wieder frei sind. (Das Beispiel von Leopold_Gast ist ja gerade eins, wo der Quotient bzw. das Bild nicht frei ist.)
LG Felix
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