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| Aufgabe | Seien K ein Körper, [mm] n\ge2 [/mm] und A € [mm] R^{n,n}. [/mm] Zeigen Sie mithilfe von adj(AB)=adj(B)adj(A) :
1.) Aus Rang(A) = n-1 folgt Rang(adj(A))=1.
2.) Aus Rang(A) [mm] \le [/mm] n-2 folgt adj(A)=0. |
Habe leider keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Sa 19.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien K ein Körper, [mm]n\ge2[/mm] und A € [mm]R^{n,n}.[/mm] Zeigen Sie
Das Euro-Zeichen soll wohl ein Element-von-Zeichen sein [mm] ($\in$), [/mm] oder? Und $R = K$?
> mithilfe von adj(AB)=adj(B)adj(A) :
> 1.) Aus Rang(A) = n-1 folgt Rang(adj(A))=1.
> 2.) Aus Rang(A) [mm]\le[/mm] n-2 folgt adj(A)=0.
>
> Habe leider keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen
> soll.
Nun, was bedeutet denn, dass der Rang gleich $n - 1$ (oder kleiner als $n - 1$) ist?
Und was hat Rang mit Determinante zu tun? Bzw. mit der Zeilenstufenform?
Und wie ist $adj(A)$ definiert?
Und was ist $adj(A)$ von einer invertierbaren Matrix $A$?
LG Felix
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Das Euro-Zeichen soll wohl ein Element-von-Zeichen sein ($ [mm] \in [/mm] $), oder? Und $ R = K $?
ja klar :)
Nun, was bedeutet denn, dass der Rang gleich $ n - 1 $ (oder kleiner als $ n - 1 $) ist?
na Rang(A)=n-1 bedeutet das die matrix A in zeilenstufenform eine zeile hat die nur aus Nullen besteht
Und was hat Rang mit Determinante zu tun? Bzw. mit der Zeilenstufenform?
das weiss ich nicht genau, ich dachte mir das wenn man eine obere dreieckstmatrix hat das man nur die dieaginale multipliziert, aber eine matrix in zeilenstufenform kann ja in der diagonalen nullen haben ...
Und wie ist $ adj(A) $ definiert?
adj(A)=det(A)A^(-1)
Und was ist $ adj(A) $ von einer invertierbaren Matrix $ A $?
das wäre die inverse von A die man noch durch det(A) teilen müsste
LG ringo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 So 20.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nun, was bedeutet denn, dass der Rang gleich [mm]n - 1[/mm] (oder
> kleiner als [mm]n - 1 [/mm]) ist?
>
> na Rang(A)=n-1 bedeutet das die matrix A in
> zeilenstufenform eine zeile hat die nur aus Nullen besteht
Ja. Aber man kann es auch bzgl. der Matrix selber interpretieren: es gibt eine Auswahl von $n - 1$ Zeilen und $n - 1$ Spalten, so dass die zugehoerige Teilmatrix (vom Format [mm] $(n-1)\times(n-1)$) [/mm] invertierbar ist.
> Und was hat Rang mit Determinante zu tun? Bzw. mit der
> Zeilenstufenform?
> das weiss ich nicht genau, ich dachte mir das wenn man eine
> obere dreieckstmatrix hat das man nur die dieaginale
> multipliziert, aber eine matrix in zeilenstufenform kann ja
> in der diagonalen nullen haben ...
Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie Rang $n$ hat.
> Und wie ist [mm]adj(A)[/mm] definiert?
> adj(A)=det(A)A^(-1)
Das ist nicht die Definition, das ist eine Aussage die man beweisen muss, und die nur fuer invertierbare Matrizen gilt. Die Adjungierte ist auch fuer nicht invertierbare Matrizen definiert, und in dieser Aufgabe geht es gerade um solche Matrizen!
> Und was ist [mm]adj(A)[/mm] von einer invertierbaren Matrix [mm]A [/mm]?
> das
> wäre die inverse von A die man noch durch det(A) teilen
> müsste
Das was du gerade schriebst, ja.
LG Felix
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> Nun, was bedeutet denn, dass der Rang gleich $ n - 1 $ (oder
> kleiner als $ n - 1 $) ist?
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> na Rang(A)=n-1 bedeutet das die matrix A in
> zeilenstufenform eine zeile hat die nur aus Nullen besteht
Ja. Aber man kann es auch bzgl. der Matrix selber interpretieren: es gibt eine Auswahl von $ n - 1 $ Zeilen und $ n - 1 $ Spalten, so dass die zugehoerige Teilmatrix (vom Format $ [mm] (n-1)\times(n-1) [/mm] $) invertierbar ist.
was hab ich davon das die zugehörige Teilmatrix invertierbar ist ?? ich weiss es leider nicht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 22.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Yomu |
> Ja. Aber man kann es auch bzgl. der Matrix selber
> interpretieren: es gibt eine Auswahl von [mm]n - 1[/mm] Zeilen und [mm]n - 1[/mm]
> Spalten, so dass die zugehoerige Teilmatrix (vom Format
> [mm](n-1)\times(n-1)[/mm]) invertierbar ist.
Hallo,
woher weiss ich das denn bzw. wie koennte man das beweisen?
mfg Yomu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:01 Di 22.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Yomu,
> > Ja. Aber man kann es auch bzgl. der Matrix selber
> > interpretieren: es gibt eine Auswahl von [mm]n - 1[/mm] Zeilen und [mm]n - 1[/mm]
> > Spalten, so dass die zugehoerige Teilmatrix (vom Format
> > [mm](n-1)\times(n-1)[/mm]) invertierbar ist.
>
> Hallo,
> woher weiss ich das denn bzw. wie koennte man das
> beweisen?
Bei Aufgabe 1.) steht als Voraussetzung Rang(A) = n-1.
Siehe Definition und Bedingungen für und Folgerungen aus ![[]](/images/popup.gif) Rang einer Matrix.
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> mfg Yomu
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Gruß
meili
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