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| Aufgabe | | Der Graph einer rationalen Funktion f vom Typ [mm] f(x)=(ax^2+bx+c)/(x-2) [/mm] hat H(0/2) und eine Asymptote, die zur Geraden mit y=x parallel ist. Bestimmen Sie f(x) und untersuchen Sie der Graphen der Funktion |
Bei der Aufgabe weiß ich nicht genau, wie man die 3 unbekannten bestimmt. Ich werde spontan jetzt das schreiben, was mir eingefallen ist:
1)Für die Asymptote muss man die Polynomdivision machen
2) Das Punkt H(0/2) ist ein Punkt auf dem Graphen, also f(0)=2
3) Das Punkt H(0/2) ist ein Extrempunkt, also f(0)=0
4) y und x ist parallel, also die Asymptote hat die Setigung m=1
ich weiß jetzt nur nicht, wie ich die Informaitonen zusammensetzten soll.
Könnt ihr ein Beispiel geben oder Hinweise, wie man auf die Funktion kommt?
lg Sunshine
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Hallo Sunshine,
> Der Graph einer rationalen Funktion f vom Typ
> [mm]f(x)=(ax^2+bx+c)/(x-2)[/mm] hat H(0/2) und eine Asymptote, die
> zur Geraden mit y=x parallel ist. Bestimmen Sie f(x) und
> untersuchen Sie der Graphen der Funktion
> Bei der Aufgabe weiß ich nicht genau, wie man die 3
> unbekannten bestimmt. Ich werde spontan jetzt das
> schreiben, was mir eingefallen ist:
>
> 1)Für die Asymptote muss man die Polynomdivision machen
Richtig; Und dann schaust du, was mit dem Ergebnis der Polynomdivision passiert, wenn [mm]x\![/mm] gegen +Unendlich geht, also [mm]x\to +\infty[/mm]. Dieser Grenzwert ist deine Asymptote.
> 2) Das Punkt H(0/2) ist ein Punkt auf dem Graphen, also
> f(0)=2
Setze also 0 in deine Funktionsgleichung für [mm]x\![/mm] ein. Der Term, der dabei herauskommt, muß mit 2 übereinstimmen. In diesem Fall liefert dir Bedingung 2) den Wert für [mm]c\![/mm].
> 3) Das Punkt H(0/2) ist ein Extrempunkt, also f(0)=0
Du meinst, sicherlich [mm]f'(0)=0[/mm].
Bilde also die erste Ableitung von [mm]f\![/mm]. Benutze dazu am Besten die Darstellung von [mm]f\![/mm], die du bei der Polynomdivision erhalten hast, damit das Ableiten leichter fällt. Setze danach 0 in [mm]f'\![/mm] ein. Der dadurch entstandene Term muß mit 0 übereinstimmen.
> 4) y und x ist parallel, also die Asymptote hat die
> Setigung m=1
Sehr schön. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und damit weißt du den Wert von [mm]a\![/mm], wenn du Bedingung 1) erfüllst.
> ich weiß jetzt nur nicht, wie ich die Informaitonen
> zusammensetzten soll.
Was haben wir bisher? Wir kennen [mm]c\![/mm] und [mm]a\![/mm]. Damit sollte sich [mm]b\![/mm] aus Bedingung 3) bestimmen lassen.
Viele Grüße
Karl
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Ich glaube, dass ich es fast verstanden habe. Ich konnte bei b=2 und c=-4 bestimmen. Ich habe nur nicht die Beziehung zwischen den m=1 und der [mm] ax^2 [/mm] verstanden.
Wenn die die Polynomdivision durchführe, kommt bei mir ax+2a als Aysymptotenfunktion heraus. Wen ich sie ableite und anschließend Einsetzte, kommt bei mir a=-1 raus. Eigentlich müsste a=1 rauskommen.
f(x)=ax+2a
f´(x)=a+2
-1=a+2 /-2
-3=a
jetzt bin ich etwas verwirrt...
habe ich eine Rechenfehler gemacht?
lg Sunshine
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> Ich glaube, dass ich es fast verstanden habe. Ich konnte
> bei b=2 und c=-4 bestimmen. Ich habe nur nicht die
> Beziehung zwischen den m=1 und der [mm]ax^2[/mm] verstanden.
>
> Wenn die die Polynomdivision durchführe, kommt bei mir
> ax+2a als Aysymptotenfunktion heraus. Wen ich sie ableite
Deine Werte habe ich jetzt nicht nachgerechnet, aber der Term der Asymptotenfunktion ist ax+2a+b. Und wozu willst du die Asympotenfunktion ableiten? Du mußt doch [mm]f\![/mm] ableiten. H ist doch nicht der Extrempunkt der Asymptotenfunktion, sondern der Extrempunkt von [mm]f\![/mm].
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Ich wusste nur nicht, wohin ich die m=1 einsetzten soll. Ich hatte vermutet, dass die Asymptote die Funktion mx+b hat und deshalb konnte ich so die m=1 nur in die Asymptotenfunktion Einsetzten.
Tut mir leid. Ich bin etwas durcheiander aber sehr vielen Dank für die Antwort.
lg Sunshine
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