rechts-/linkskrümmung f(x) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:54 Mo 19.01.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Wo ist die Funktion links- bzw. rechtsgekrümmt?
[mm] f(x)=\arcsin\left(\bruch{1}{1+x^2}\right) [/mm] |
Also ich will die Aufgabe im Rahmen einer Kurvendiskussion machen...
Das Problem ist, dass die Ableitungen sehr kompliziert werden solange ich mich verrechnet habe und wollte wissen ob es eine einfachere Methode gibt...
Die Funktion ist nicht Diff'bar für [mm] x_0=0...
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{\sqrt{1+(\bruch{1}{1+x^2})^2}}*\bruch{-2x}{(1+x^2)^2}
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] \left(\bruch{1}{\sqrt{1+(\bruch{1}{1+x^2})^2}}\right)'
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}*\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{3}{2}}*2*\bruch{1}{1+x^2}*\bruch{-2x}{(1+x^2)^2}
[/mm]
[mm] =\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{3}{2}}*\bruch{2*x}{(1+x^2)^3}
[/mm]
[mm] \left(\bruch{-2*x}{(1+x^2)^2}\right)'
[/mm]
[mm] =\bruch{-2*(1+x^2)^2+2*x*2*(1+x^2)*2x}{(1+x^2)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{6*x^2-2}{(1+x^2)^3}
[/mm]
Jetzt kommt die tolle lange 2te Ableitung:
[mm] f''(x)=\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{3}{2}}*\bruch{2*x}{(1+x^2)^3}*\bruch{-2x}{(1+x^2)^2}+\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{1}{2}}*\bruch{6*x^2-2}{(1+x^2)^3}
[/mm]
[mm] =\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{(1+x^2)^3}*\left[\bruch{-4*x^2}{(1+x^2)^2}*\left(1+(\bruch{1}{1+x^2})^2\right)^{-1}+6*x^2-2\right]
[/mm]
Das ausgeklammerte müsste immer > 0 sein, wenn ich mich da nicht verguckt habe...
Kann man dem Begriff in der Klammer auch irgendiwe auf Anhieb ansehen, dass dieser [mm] \ge [/mm] 0 ist oder muss ich das wirklich noch ausrechnen?
Ich weis ich verlange hier sehr viel von euch wegen der langwierigen Ableitung, aber vielleicht hat ja trotzdem jemand Lust 
Danke und besten Gruß,
tedd
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