rechtwinkliges Dreieck < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Lucie05 |
| Aufgabe | Aus einem rechtwinkligen Dreieck wird durch zwei, aus einem Punkt der Hypotenuse ausgehenden Schnitte ein Recheck gewonnen.
Stimmt es, dass der Flächeninhalt des Rechtecks höchstens halb so groß ist wie der des Dreiecks? |
Der Flächeninhalt des Dreicks ist: 0,5*ab
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist: p*q
pq<=0,25*ab
und da komme ich jetzt leider nicht weiter.
Über eine kleine Starthilfe würde ich mich freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Sa 13.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn Du schon bewiese hast, dass [mm] p*q\le\br{1}{4}*a*b [/mm] gilt folgt sofort das [mm] p*q\le\br{1}{2}\left(\br{a*b}{2}\right) [/mm] gilt.
Also ist der Flächeninhalt des Rechtecks höchstens halb so groß wie der des Dreiecks.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Lucie05 |
> Hi,
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> wenn Du schon bewiese hast, dass [mm]p*q\le\br{1}{4}*a*b[/mm] gilt
Wie beweise ich das den? ich dachte das steht so in der Aufgabe...
> Also ist der Flächeninhalt des Rechtecks höchstens halb
> so groß wie der des Dreiecks.
Das heißt ich habe das Ergebnis, aber der Weg dahin fehlt mir noch?
aber ich habe doch keine weiteren Angaben an denen ich das beweisen kann oder?
Danke
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Sa 13.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
also die Aufgabe ist zu beweisen oder zuwiederlegen das das Rechteck höchstens halb so groß wie der Inhalt des Dreiecks ist.
Ich hab den Beweis so gemacht.
Ich habe mir ein rechtwinkliges Dreieck in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Der rechte Winkel liegt im Ursprung. Also ist das Dreieck wie folgt beschrieben
A=(0 | 0) B=(b | 0) und C=(0 | a)
Die Gerade die den Punkt C und B verbindet ergibt sich zu [mm] g(x)=-\br{a}{b}(x-b) [/mm] und eine Seite des Rechtecks, parallel zur Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] wird durch die Gleichung h(x)=q beschrieben.
Gleichsetzen von h(x) und g(x) ergibt eine Gleichung dessen Lösung den Wert p in Abhängigkeit von q ergibt. Dieses so gefundene p(q) muss mit q multipliziert werden um den Flächeninhalt des Rechtecks zu erhalten. Damit ist der Flächeninhalt nur eine Funktion von q. Zu dieser Funktion muss das Maximum gesucht werden, also erste und zweite Ableitung berechnen.
Wenn Du alles richtig gemacht hast, bekommst Du als Maximum [mm] \br{1}{4}*a*b [/mm] heraus und bist da, wo Du hin musst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Lucie05 |
Hey,
> Ich habe mir ein rechtwinkliges Dreieck in ein
> Koordinatensystem eingezeichnet. Der rechte Winkel liegt im
> Ursprung. Also ist das Dreieck wie folgt beschrieben
>
> A=(0 | 0) B=(b | 0) und C=(0 | a)
>
> Die Gerade die den Punkt C und B verbindet ergibt sich zu
> [mm]g(x)=-\br{a}{b}(x-b)[/mm]
ich habe das jetzt so: [mm]g(x)=-\br{a}{b}x+a[/mm]
und eine Seite des Rechtecks, parallel
> zur Strecke [mm]\overline{AB}[/mm] wird durch die Gleichung h(x)=q
> beschrieben.
>
> Gleichsetzen von h(x) und g(x) ergibt eine Gleichung dessen
> Lösung den Wert p in Abhängigkeit von q ergibt. Dieses so
dann gibt es noch die strecke x=p
und y=q
y=h(x)=q
also erhalte ich: [mm] q(p)=-\br{a}{b}p+a[/mm]
und das soll ich jetzt mit q multiplizieren?
dann erhalte ich:
[mm] q²(p)=-\br{a}{b}p*q+aq[/mm]
ich glaube da hab ich was falsch verstanden oder?
> gefundene p(q) muss mit q multipliziert werden um den
> Flächeninhalt des Rechtecks zu erhalten. Damit ist der
> Flächeninhalt nur eine Funktion von q. Zu dieser Funktion
> muss das Maximum gesucht werden, also erste und zweite
> Ableitung berechnen.
>
> Wenn Du alles richtig gemacht hast, bekommst Du als Maximum
> [mm]\br{1}{4}*a*b[/mm] heraus und bist da, wo Du hin musst.
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Sa 13.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> y=h(x)=q
>
> also erhalte ich: [mm]q(p)=-\br{a}{b}p+a[/mm]
>
Ich dachte das so.
[mm] q=-\br{a}{b}*p+a \Rightarrow p=b-\br{b}{a}*q
[/mm]
[mm] A(q)=p*q=b*q-\br{b}{a}q^2
[/mm]
wobei A(q) die Rechteckfläche ist. Für A(q) musst Du das Maximum suchen.
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