reelle Lösung für eine Diffgl. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für jede der folgenden Differentialgleichungen beschreiben Sie die allgemeine reelle Lösung:
(a) [mm] y'' + y' +y = 0 [/mm]
(b) [mm] y''' -6y'' +9y' = 0 [/mm] |
Ich weiß, dass ich hier wieder irgendwas in seine Linearfaktoren zerlegen muss indem man [mm] \bruch {d}{dx} = D [/mm] definiert und dann [mm] (D^2 + D +1)y =0 [/mm] daraus macht.
Kann mir jemand ne Schritt für Schritt Anleitung geben wie ich jetzt weiter machen muss? Denn das Beispiel aus meinem Skript verstehe ich nicht. Weder die Bestimmung der komplexen noch die reellen Lösung. Beides wär super...
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> Für jede der folgenden Differentialgleichungen beschreiben
> Sie die allgemeine reelle Lösung:
>
> (a) [mm]y'' + y' +y = 0 [mm][/mm][/mm]
(b) [mm]y''' -6y'' +9y' = 0 [mm][/mm][/mm]
> Ich weiß, dass ich hier wieder irgendwas in seine Linearfaktoren zerlegen muss indem man [mm]\bruch {d}{dx} = D[/mm] definiert und dann [mm](D^2 + D +1)y =0[/mm] daraus macht.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Kann mir jemand ne Schritt für Schritt Anleitung geben wie ich jetzt weiter machen muss? Denn das Beispiel aus meinem Skript verstehe ich nicht. Weder die Bestimmung der komplexen noch die reellen Lösung. Beides wär super... [/mm][/mm]
Hallo,
nun bestimmst Du die beiden Nullstellen [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] von [mm] D^2 [/mm] + D +1.
Es bilden dann die Funktionen [mm] \phi_i(x):=e^{\lambda_ix} [/mm] ein Fundamentalsystem von Lösungen.
Falls die [mm] \phi_i [/mm] komplex sind (was hier der Fall ist), kann man sie anschließend zu einem reellen Fundamentalsystem linearkombinieren. Das können wir ja tun, wenn die [mm] \phi_i [/mm] stehen.
Gruß v. Angela
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Hallo Sesquilinearform!
zu a)
Löse folgende Gleichung:
[mm] u^2+u+1=0
[/mm]
Falls beide Lösungen gleich sind:y=c1*exp(u*x)+c2*x*exp(u*x);
falls beide Lösungen komplex sind:y=c1*exp(Realteilvonu1*x)+c2*exp(Imaginärteilvonu1*x);
sonst:y=c1*exp(u1*x)+c2*exp(u2*x).
b) geht analog.
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße Martha.
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