reelle Zahlen finden < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
es sind drei reelle positive Zahlen a,b,c zu bestimmen, deren
Summe gleich 12 und deren Quadratsumme [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 +c^2
[/mm]
minimal ist.
Also ich würde einfach spontan
a=b=c=4
bestimmen.
Aber wie zeigt man sowas analytisch korrekt?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Du suchst Extrema unter Nebenbedingungen -> Lagrange.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Merle23,
> Du suchst Extrema unter Nebenbedingungen -> Lagrange.
Lagrange haben wir gar nicht behandelt ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") (Lediglich zu einem
früheren Zeitpunkt einmal die Restdarstellung von Lagrange erwähnt,
doch das meinst Du hier sicherlich nicht?!)
Danke,
Anna
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Hallo,
>
> es sind drei reelle positive Zahlen a,b,c zu bestimmen,
> deren
> Summe gleich 12 und deren Quadratsumme [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2 +c^2[/mm]
>
> minimal ist.
Also
f= [mm] a^2+b^2+c^2
[/mm]
Nebenbedingung
a+b+c=12
a=12-b-c
[mm] f=(12-b-c)^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] c^2
[/mm]
Und davon jetzt die Ableitungen bilden und nach Extrema schauen?
Wär das so richtig?
Danke,
Anna
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Hallo,
danke. Aber es scheint doch nicht sehr sinnvoll etwas anzuwenden,
was man nicht durchgenommen hat?
Ohne kann man das nicht lösen?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Es gibt viele Möglichkeiten... ![[]](/images/popup.gif) Link.
Bist du sicher, dass ihr das nicht hattet? Denn es ist die Standart-Methode; die wird am Ende des "Differentialrechnung im [mm]\IR^n[/mm]"-Kapitels in der Analysis immer drangenommen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Merle23,
> Es gibt viele Möglichkeiten...
> Link.
>
> Bist du sicher, dass ihr das nicht hattet? Denn es ist die
> Standart-Methode; die wird am Ende des
> "Differentialrechnung im [mm]\IR^n[/mm]"-Kapitels in der Analysis
> immer drangenommen.
Also ich habe gerade noch einmal ins Script geschaut. Da wird
nicht einmal das Wort "Lagrange" erwähnt. Tja, schon seltsam.
Danke,
Anna
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Hallo,
also ich habe mich jetzt nochmal durch die Links gelesen.
Es ist ja mit Lagrange gut zu realisieren. Aber ich möchte
es gerne ohne versuchen (eben weil es seltsamerweise
nicht im Script steht). Aber ich kapiere nicht, wie ich da
vorgehen muss.
1. Nebenbedingung nach einer Variable auflösen, dann in
Hauptgleichung einsetzen.
2. Ableitung bilden
..?
Oder wie?
Danke für Tipps,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mo 14.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> also ich habe mich jetzt nochmal durch die Links gelesen.
> Es ist ja mit Lagrange gut zu realisieren. Aber ich
> möchte
> es gerne ohne versuchen (eben weil es seltsamerweise
> nicht im Script steht). Aber ich kapiere nicht, wie ich
> da
> vorgehen muss.
> 1. Nebenbedingung nach einer Variable auflösen, dann in
> Hauptgleichung einsetzen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Der Vorteil der Lagrange-Methode besteht darin, dass sie auch funktioniert, wenn man die Nebenbedingung nicht nach einer Variablen auflösen kann.)
> 2. Ableitung bilden
> ..?
Genauer gesagt Ableitungen bilden. Du hast nach dem Einsetzen ja eine Funktion in zwei Variablen. Eine notwendige Bedingung für das Extremum ist, dass alle Ableitungen 0 sind, also zum Beispiel:
[mm] a+b+c = 12 \gdw a= 12-b-c [/mm]
[mm] f(a,b,c) = a^2+b^2+c^2 = (12-b-c)^2 +b^2+c^2 =: g(b,c) [/mm]
und jetzt:
[mm] \bruch{\partial g(b,c)}{\partial b} = 0 [/mm] und [mm] \bruch{\partial g(b,c)}{\partial c} = 0 [/mm].
Das ist auch plausibel: du willst die Werte zweier Variablen b und c bestimmen, also rauchst du auch 2 Gleichungen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
DANKE für Deine Antwort.
> Genauer gesagt Ableitungen bilden. Du hast nach dem
> Einsetzen ja eine Funktion in zwei Variablen. Eine
> notwendige Bedingung für das Extremum ist, dass alle
> Ableitungen 0 sind, also zum Beispiel:
>
> [mm]a+b+c = 12 \gdw a= 12-b-c[/mm]
>
> [mm]f(a,b,c) = a^2+b^2+c^2 = (12-b-c)^2 +b^2+c^2 =: g(b,c)[/mm]
Genau. So weit war ich nämlich schon mal.
> und jetzt:
>
> [mm]\bruch{\partial g(b,c)}{\partial b} = 0[/mm] und [mm]\bruch{\partial g(b,c)}{\partial c} = 0 [/mm].
>
> Das ist auch plausibel: du willst die Werte zweier
> Variablen b und c bestimmen, also rauchst du auch 2
> Gleichungen.
Also die Ableitungen sind
g(b,c)=-24+4b+2c
und
g(b,c)=-24+2b+4c
Und die sind = 0
für
b+c=11
Oder was mache ich da jetzt schon falsch?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Mo 14.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> Hallo Rainer,
>
> DANKE für Deine Antwort.
>
> > Genauer gesagt Ableitungen bilden. Du hast nach dem
> > Einsetzen ja eine Funktion in zwei Variablen. Eine
> > notwendige Bedingung für das Extremum ist, dass alle
> > Ableitungen 0 sind, also zum Beispiel:
> >
> > [mm]a+b+c = 12 \gdw a= 12-b-c[/mm]
> >
> > [mm]f(a,b,c) = a^2+b^2+c^2 = (12-b-c)^2 +b^2+c^2 =: g(b,c)[/mm]
>
> Genau. So weit war ich nämlich schon mal.
>
> > und jetzt:
> >
> > [mm]\bruch{\partial g(b,c)}{\partial b} = 0[/mm] und [mm]\bruch{\partial g(b,c)}{\partial c} = 0 [/mm].
>
> >
> > Das ist auch plausibel: du willst die Werte zweier
> > Variablen b und c bestimmen, also rauchst du auch 2
> > Gleichungen.
>
> Also die Ableitungen sind
> g(b,c)=-24+4b+2c
> und
> g(b,c)=-24+2b+4c
Das sind die Ableitungen, es ist aber nicht g(b,c), das ist so falsch.
> Und die sind = 0
> für
> b+c=11
>
> Oder was mache ich da jetzt schon falsch?
Da hast du falsch gerechnet. Du hast doch
[mm] 4b+2c = 24[/mm]
[mm] 2b+4c = 24 [/mm]
Wo kommt da die 11 her?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
> > Also die Ableitungen sind
> > g(b,c)=-24+4b+2c
> > und
> > g(b,c)=-24+2b+4c
>
> Das sind die Ableitungen, es ist aber nicht g(b,c), das ist
> so falsch.
Stimmt. Ich habe das ' vergessen, also g'(b,c)
> > Und die sind = 0
> > für
> > b+c=11
> >
> > Oder was mache ich da jetzt schon falsch?
>
> Da hast du falsch gerechnet. Du hast doch
>
> [mm]4b+2c = 24[/mm]
> [mm]2b+4c = 24[/mm]
>
> Wo kommt da die 11 her?
Ups, das war falsch umgeformt von mir.
Wie macht man jetzt weiter?
Also sind sie Null für
2b + c = 22 bzw
b + 2 c = 22
Danke,
Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Di 15.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Blödsinn,
ich meine natürlich: Für
2b + c = 12 bzw
b + 2 c = 12
sind sie Null.
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Di 15.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> Hallo Rainer,
>
> > > Also die Ableitungen sind
> > > g(b,c)=-24+4b+2c
> > > und
> > > g(b,c)=-24+2b+4c
> >
> > Das sind die Ableitungen, es ist aber nicht g(b,c), das ist
> > so falsch.
>
> Stimmt. Ich habe das ' vergessen, also g'(b,c)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Was soll denn g' bei einer Funktion von zwei Variablen bedeuten?
Entweder du schreibst die partiellen Ableitungen aus, oder
[mm]g_b(b,c)= -24+4b+2c[/mm]
[mm]g_c(b,c)=-24+2b+4c[/mm]
>
> > > Und die sind = 0
> > > für
> > > b+c=11
> > >
> > > Oder was mache ich da jetzt schon falsch?
> >
> > Da hast du falsch gerechnet. Du hast doch
> >
> > [mm]4b+2c = 24[/mm]
> > [mm]2b+4c = 24[/mm]
> >
> > Wo kommt da die 11 her?
>
> Ups, das war falsch umgeformt von mir.
> Wie macht man jetzt weiter?
> Also sind sie Null für
> 2b + c = 22 bzw
> b + 2 c = 22
>
Es ist schon spät. 
[mm]2b+c = 12[/mm]
[mm]b+2c = 12[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
> Was soll denn g' bei einer Funktion von zwei Variablen
> bedeuten?
>
> Entweder du schreibst die partiellen Ableitungen aus, oder
>
> [mm]g_b(b,c)= -24+4b+2c[/mm]
> [mm]g_c(b,c)=-24+2b+4c[/mm]
Ist ja schlimm mit mir. Klar. Bei mir habe ich ja auch
[mm] D_1 [/mm] g(b,c) usw. stehen (so bezeichnen wir das lt. Script).
> Es ist schon spät.
In der Tat. Peinlich. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
> [mm]2b+c = 12[/mm]
> [mm]b+2c = 12[/mm]
Ja, das habe ich nun auch.
Wie mache ich nun weiter?
Die zweiten Ableitungen sind ja dann
jeweils 2 und 4
Oder wie zeige ich nun formell korrekt, dass
a=b=c=4 das Ergebnis ist?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Di 15.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> > [mm]2b+c = 12[/mm]
> > [mm]b+2c = 12[/mm]
>
> Ja, das habe ich nun auch.
Und die einzige Lösung dieses Gleichungssystems ist $b=4$, $c=4$.
> Wie mache ich nun weiter?
> Die zweiten Ableitungen sind ja dann
> jeweils 2 und 4
Um nachzuweisen, dass es sich um ein Minimum handelt, bestimmst du die Matrix der zweiten Ableitungen (Hessematrix):
[mm] \begin{pmatrix} g_{bb} & g_{bc}\\ g_{cb} & g_{cc} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} [/mm].
Die ist positiv definit (die beiden Eigenwerte 2 und 6 sind positiv), also ist es ein lokales Minimum.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
ah OK. Ich glaube, dass ich das jetzt verstanden habe.
Ich versuche es noch einmal:
Gesucht 3 reelle positive Zahlen a,b,c, deren Summe wie gehabt gleich
12 ist und deren Produkt maximal.
Also
f(a,b,c)=a*b*c
Nebenbedingung
a+b+c=12
<=>a=12-b-c
g(b,c)=(12-b-c)*b*c
partielle Ableitungen
[mm] g_b(b,c) [/mm] = -c(2b+c-12)
[mm] g_c(b,c)= [/mm] b(b+2(c-6))
Diese werden Null für
c=0 oder c=12-2b
bzw.
b=0 oder b=12-c
Zweite Ableitungen
[mm] g_{bb}(b,c) [/mm] = -2c
[mm] g_{bc}(b,c)= [/mm] -2(b+c-6)
[mm] g_{cb}(b,c)= [/mm] 2(b+c-6)
[mm] g_{cc}(b,c)= [/mm] 2b
Ist das soweit richtig?
Aber wie komme ich nun auf das Ergebnis?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Di 15.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Anna!
> Hallo Rainer,
>
> ah OK. Ich glaube, dass ich das jetzt verstanden habe.
> Ich versuche es noch einmal:
> Gesucht 3 reelle positive Zahlen a,b,c, deren Summe wie
> gehabt gleich
> 12 ist und deren Produkt maximal.
> Also
> f(a,b,c)=a*b*c
> Nebenbedingung
> a+b+c=12
> <=>a=12-b-c
>
> g(b,c)=(12-b-c)*b*c
> partielle Ableitungen
> [mm]g_b(b,c) = -c(2b+c-12)[/mm]
> [mm]g_c(b,c)= b(b+2(c-6))[/mm]
[mm]g_c(b,c)= \red{-}b(b+2(c-6))[/mm]
>
> Diese werden Null für
> c=0 oder c=12-2b
> bzw.
> b=0 oder b=12-c
[mm] $b=12-\red{2}c$
[/mm]
Vorsicht: beide Gleichungen müssen gleichzeitig gelten.
Also hast du folgende Lösungen:
(a) b=c=0
(b) b=0, c=12
(c) c=0, b=12
(d) b=4, c=4
> Zweite Ableitungen
> [mm]g_{bb}(b,c) = -2c[/mm]
> [mm]g_{bc}(b,c)= -2(b+c-6)[/mm]
> [mm]g_{cb}(b,c)= 2(b+c-6) [/mm]
> [mm]g_{cc}(b,c)= 2b[/mm]
Bei den letzten beiden fehlt ein Minus [mm] ($g_{bc}=g_{cb}$):
[/mm]
[mm] g_{cb}(b,c)= \red{-}(b+c-6) [/mm], [mm]g_{cc}(b,c)= \red{-}2b[/mm]
Du nimmst wieder die Hessematrix
[mm] \begin{pmatrix} -2c & -2(b+c-6) \\ -2(b+c-6) & -2b \end{pmatrix} [/mm]
und setzt die vier Lösungen (a)-(d) der Reihe nach ein. Da du ein Maximum suchst, muss diesmal die Matrix negativ definit sein (beide Eigenwerte negativ).
Du kannst aber auch einfach die vier Lösungen der Reihe nach in die Funktion f(a,b,c) einsetzen und auf Maximum prüfen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
ok. Da hatte ich mal wieder ein paar Komma vergessen.
Kann ich das jetzt eigentlich auch so lösen?
Also die Gleichungen werden Null für
[mm] \vektor{0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 12},\vektor{12 \\ 0},\vektor{4 \\ 4}
[/mm]
Alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung sind stetig. Es gilt für
a = [mm] \vektor{b \\ c}\in \IR^2
[/mm]
[mm] \Delta(a) [/mm] = [mm] g_{bb} g_{cc} [/mm] - [mm] (g_{bc})^2
[/mm]
= -2c * - 2b [mm] -4(b+c-6)^2
[/mm]
also
[mm] \Delta(\vektor{0\\0}) [/mm] = - 144
[mm] \Delta(\vektor{0\\12} [/mm] )= - 144
[mm] \Delta(\vektor{12\\0} [/mm] )= - 144
[mm] \Delta(\vektor{4\\4}) [/mm] = 48
Daher hat g ein lokales Maximum mit
g(4,4)=64
a*4*4=64 [mm] \gdw [/mm] a=4
Also ist auch in diesem Fall das Ergebnis
a=b=c=4
Wäre das auch auf diese Art in Ordnung?
Danke,
Anna
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> Hallo Rainer,
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> ok. Da hatte ich mal wieder ein paar Komma vergessen.
> Kann ich das jetzt eigentlich auch so lösen?
>
> Also die Gleichungen werden Null für
> [mm]\vektor{0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 12},\vektor{12 \\ 0},\vektor{4 \\ 4}[/mm]
>
> Alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung sind stetig. Es gilt
> für
> a = [mm]\vektor{b \\ c}\in \IR^2[/mm]
> [mm]\Delta(a)[/mm] = [mm]g_{bb} g_{cc}[/mm] -
> [mm](g_{bc})^2[/mm]
> = -2c * - 2b [mm]-4(b+c-6)^2[/mm]
>
> also
> [mm]\Delta(\vektor{0\\0})[/mm] = - 144
> [mm]\Delta(\vektor{0\\12}[/mm] )= - 144
> [mm]\Delta(\vektor{12\\0}[/mm] )= - 144
> [mm]\Delta(\vektor{4\\4})[/mm] = 48
>
> Daher hat g ein lokales Maximum
Hallo,
zur Begründung mußt Du noch das linke obere Element der Hessematrix heranziehen. Daß die Determinante der HM positiv ist, reicht allein nicht für pos. definit.
> mit
> g(4,4)=64
Ich habe den Thread jetzt nur überflogen, möglicherweise ist mir was entgangen, aber g(4,4)=(12-4-4)²+4²+4² ergibt bei mir nicht 64,
Gruß v. Angela
>
> a*4*4=64 [mm]\gdw[/mm] a=4
> Also ist auch in diesem Fall das Ergebnis
> a=b=c=4
>
> Wäre das auch auf diese Art in Ordnung?
>
> Danke,
> Anna
>
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Hallo Angela,
> > also
> > [mm]\Delta(\vektor{0\\0})[/mm] = - 144
> > [mm]\Delta(\vektor{0\\12}[/mm] )= - 144
> > [mm]\Delta(\vektor{12\\0}[/mm] )= - 144
> > [mm]\Delta(\vektor{4\\4})[/mm] = 48
> >
> > Daher hat g ein lokales Maximum
>
> zur Begründung mußt Du noch das linke obere Element der
> Hessematrix heranziehen. Daß die Determinante der HM
> positiv ist, reicht allein nicht für pos. definit.
Gut, bei mir habe ich noch zusätzlich geschrieben:
[mm] g_{bb} [/mm] g(4,4)=-8
Daher lok. Maximum.
Würde das so denn reichen als Begründung?
> > mit
> > g(4,4)=64
>
> Ich habe den Thread jetzt nur überflogen, möglicherweise
> ist mir was entgangen, aber g(4,4)=(12-4-4)²+4²+4² ergibt
> bei mir nicht 64,
In diesem Thread sind praktisch zwei solche Aufgaben.
Zuerst ging es um [mm] g(b,c)=(12-4-4)^2+4^2+4^2 [/mm] also
darum 3 reelle positive Zahlen zu finden, deren Summe 12
und Quadratsumme (also g) minimal ist.
Hier in dieser geht es darum, statt der minimalen Quadratsumme
das maximale Produkt zu finden. Also g=a*b*c maximal.
Stimmt das dann so?
Danke,
Anna
> Gruß v. Angela
>
>
> >
> > a*4*4=64 [mm]\gdw[/mm] a=4
>
>
> > Also ist auch in diesem Fall das Ergebnis
> > a=b=c=4
> >
> > Wäre das auch auf diese Art in Ordnung?
> >
> > Danke,
> > Anna
> >
>
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> Hallo Angela,
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> > > also
> > > [mm]\Delta(\vektor{0\\0})[/mm] = - 144
> > > [mm]\Delta(\vektor{0\\12}[/mm] )= - 144
> > > [mm]\Delta(\vektor{12\\0}[/mm] )= - 144
> > > [mm]\Delta(\vektor{4\\4})[/mm] = 48
> > >
> > > Daher hat g ein lokales Maximum
> >
> > zur Begründung mußt Du noch das linke obere Element der
> > Hessematrix heranziehen. Daß die Determinante der HM
> > positiv ist, reicht allein nicht für pos. definit.
>
> Gut, bei mir habe ich noch zusätzlich geschrieben:
> [mm]g_{bb}[/mm] g(4,4)=-8
> Daher lok. Maximum.
> Würde das so denn reichen als Begründung?
Hallo,
ich würde schreiben: "... und [mm] g_b_b(4,4)=-8, [/mm] also negativ definit, daher hat man an der Stelle (4,4) ein Maximum."
(Du willst doch zeigen, daß Du schon v. Definitheit gehört hast...)
>
> > > mit
> > > g(4,4)=64
> >
> > Ich habe den Thread jetzt nur überflogen, möglicherweise
> > ist mir was entgangen, aber g(4,4)=(12-4-4)²+4²+4² ergibt
> > bei mir nicht 64,
>
> In diesem Thread sind praktisch zwei solche Aufgaben.
> Zuerst ging es um [mm]g(b,c)=(12-4-4)^2+4^2+4^2[/mm] also
> darum 3 reelle positive Zahlen zu finden, deren Summe 12
> und Quadratsumme (also g) minimal ist.
> Hier in dieser geht es darum, statt der minimalen
> Quadratsumme
> das maximale Produkt zu finden. Also g=a*b*c maximal.
> Stimmt das dann so?
Achso. Ja, dann ist alles richtig.
Gruß v. Angela
>
> Danke,
> Anna
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> > >
> > > a*4*4=64 [mm]\gdw[/mm] a=4
> >
> >
> > > Also ist auch in diesem Fall das Ergebnis
> > > a=b=c=4
> > >
> > > Wäre das auch auf diese Art in Ordnung?
> > >
> > > Danke,
> > > Anna
> > >
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Di 15.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Angela,
DANKE!
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Mo 14.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Angenommen es existiert ein Minimum, dann kannst du zeigen, dass das bei a=b=c liegt.
nimm a=b da die Summe fest ist musst du a um [mm] \epsilon [/mm] vergrößern wenn du b um [mm] \epsilon [/mm] verkleinerst: dann hast du statt [mm] a^2+a^2+c^2 (a+\epsilon)^2+(a-\epsilon)^2+c^2 =a^2+a^2+2\epsilon^2+c^2 [/mm] also vergrößert.
entsprechend mit c.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Di 15.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo leduart,
vielen DANK auch für Deine Hilfe!
So ist das natürlich auch noch eine Möglichkeit.
Werde ich mir auch noch einmal durch den Kopf gehen
lassen. Wobei o.g. Vorgehensweise von mir wohl eher zu meinem Script passt.
Danke,
Anna
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![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
