reelle Zahlenfolge, Vektorraum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Mi 17.11.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] F:= \{ a_n : \IN \to \IR \} [/mm] die Menge aller reellen Zahlenfolgen. Beweisen Sie: F ist ein [mm]\IR [/mm]- Vektorraum |
zu zeigen ist das:
[mm] http://www-lm.ma.tum.de/archiv/ws023/la1lb023/folien/Vektorraumaxiome_1.pdf
[/mm]
Beweis: seien [mm] a_n ,b_n ,c_n \in F[/mm]
(V1): [mm]a_n +b_n = (a_1 + b_1 )+...+( a_n +b_n ) = (b_1 + a_1 )+...+(b_n +a_n ) = b_n +a_n [/mm]
(V2) [mm](a_n +b_n )+c_n = (a_1 + b_1 )+ c_1 +...+( a_n +b_n )+ c_n =a_1 + b_1 + c_1 +...+ a_n +b_n + c_n = a_1 +( b_1 + c_1 ) +...+ a_n + (b_n + c_n) = a_n +(b_n + c_n )[/mm]
(V3) Hier hab ich dann ein Problem, weil die Summe von zwei Folgen so komisch definiert ist...
Deshalb kann es nicht die Nullfolge sein. ich hab hier schon mit Summenzeichen hin und her überlegt, komm aber nicht drauf, weil die 0 eben auch in F sein muss. Hilfe Bitte!!
(V4) das Inverse ist [mm] -a_n [/mm]
(V5) [mm] (\alpha + \beta )a_n = (\alpha + \beta ) (a_1 , a_2, ...,a_n ) =( (\alpha + \beta ) a_1 ,... ,(\alpha + \beta ) a_n ) =( \alpha a_1 + \beta a_1 ,... ,\alpha a_n + \beta a_n ) = ?? [/mm] stimmt nicht weil die Addition so komisch definiert ist hä???
da kann irgendwas nicht stimmen, aber wo liegt der Fehler??
für Addition von Folgen gilt doch:
[mm] a_n +b_n = (a_1 +b_1) + ... + (a_n +b_n)[/mm]
das + irritiert mich total!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
vielleicht ist deine Verwirrung nicht nur in der Verwendung des "+"-Zeichens begründet, sondern auch in der Verwendung des Symbols [mm] "a_n".
[/mm]
In der Aufgabenstellung steht [mm] a_n [/mm] für eine Zahlenfolge, und zwar eine unendliche Zahlenfolge mit Einträgen aus [mm] \IR. [/mm] Du benutzt das Symbol außerdem zur Kennzeichnung des n-ten Folgengliedes. Das kann ja kaum gutgehen.
> $ [mm] a_n +b_n [/mm] = [mm] (a_1 [/mm] + [mm] b_1 [/mm] )+...+( [mm] a_n +b_n [/mm] ) = [mm] (b_1 [/mm] + [mm] a_1 )+...+(b_n +a_n [/mm] ) = [mm] b_n +a_n [/mm] $
Links vom ersten Gleichheitszeichen bedeutet [mm] a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] die Summenfolge, also ein Element von F, das Pluszeichen markiert die Addition in F.
Nach dem ersten Gleichheitszeichen sollten die Folgenglieder dieser Summenfolge stehen, das sind Summen der Form [mm] (a_1 [/mm] + [mm] b_1), (a_2 [/mm] + [mm] b_2) [/mm] usw., diese "+"-Zeichen beziehen sich auf die Addition in [mm] \IR. [/mm] Diese Klammern werden aber ihrerseits nun keineswegs addiert, sie stellen vielmehr die einzelnen Folgenglieder dar! Da es sich um unendliche Folgen handelt, müsstest du eigentlich nach dem " [mm] +(a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] " noch " + ... " schreiben, was natürlich auch falsch wäre.
Richtig ist einfach [mm] a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] = ( [mm] (a_1 [/mm] + [mm] b_1) [/mm] , [mm] (a_2 [/mm] + [mm] b_2) [/mm] , ... ). Die inneren Klammern kann man auch weglassen, das äußere Klammernpaar nicht, es zeigt an, dass es sich um eine Folge handelt, die Folgenglieder werden aufgezählt.
Bei V5 hast du das ansatzweise richtig gemacht, aber denke daran : keine endliche Folge.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 17.11.2010 | | Autor: | ella87 |
Das mit den Klammern und [mm] a_n [/mm]sehe ich ein.
Aber das:
[mm]a_n[/mm] + [mm]b_n[/mm] = ( [mm](a_1[/mm] + [mm]b_1)[/mm] , [mm](a_2[/mm] + [mm]b_2)[/mm] , ... )
>
haben wir anders definiert. Wenn du recht hast ist das ja quasi genau wie bei Vektoren.
Ich hab in meiner Mitschrift stehen:
seien [mm]( a_n ) [/mm] und [mm] ( b_n ) [/mm] zwei gegebene Folgen, dann ist
(i) [mm] ( c_n ) [/mm] die Summenformel gegeben durch
[mm] c_n = a_n + b_n = (a_1 +b_1) + (a_2 + b_2 ) +...+ (a_n + b_n) [/mm]
(ii) [mm]( d_n ) [/mm] die Differenzfolge gegeben durch
[mm] d_n = a_n - b_n = (a_1 -b_1) + (a_2 - b_2 ) +...+ (a_n - b_n) [/mm]
(iii) [mm]( e_n ) [/mm] die Produktfolge gegeben durch
[mm] d_n = a_n * b_n = (a_1 *b_1) + (a_2 * b_2 ) +...+ (a_n * b_n) [/mm]
Dann stimmt das nicht? Ich fand das eh unlogisch, weil man doch bei Reihen aufsummiert und nicht bei Folgen.
Korrekt wäre dann das elementeweise Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren für jeden Eintrag ohne Aufsummieren?
Das hat so an der Tafel gestanden....
Ich bin verwirrt =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Jetzt haben wir ein besseres Symbol für die Folge, nämlich [mm] (a_n).
[/mm]
> (i) $ ( [mm] c_n [/mm] ) $ die Summenformel gegeben durch
> $ [mm] c_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] = [mm] (a_1 +b_1) [/mm] + [mm] (a_2 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] ) +...+ [mm] (a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] $
(du meinst Summenfolge)
Das erste Gleichheitszeichen ist in Ordnung.
Es ist [mm] (c_n) [/mm] = [mm] (c_1 [/mm] , [mm] c_2 [/mm] , ... , [mm] c_n [/mm] , ... ), wobei [mm] c_n [/mm] eben aus den n-ten Folgegliedern von [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] berechnet wird.
Das zweite Gleichheitszeichen ist Quatsch. Es könnte doch nur stimmen, wenn [mm] (a_1 [/mm] + [mm] b_1) [/mm] + [mm] (a_2 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] ) +...+ [mm] (a_{n-1} [/mm] + [mm] b_{n-1}) [/mm] = 0 wäre.
Gruß Sax.
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