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| Aufgabe | | Was sind die ersten 3 Ableitungen der regulären Distribution [mm] \[|x|sin(x)\]? [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ist meine Rechnung korrekt?:
[mm] \[T_f '=-\integral_{-\infty}^{\infty}|x|sin(x)*\phi'(x){dx}\]
[/mm]
[mm] \[=-\integral_{-\infty}^{0}(sin(x)+xcosx)*\phi'(x){dx}+\integral_{0}^{\infty}(sin(x)+xcosx)*\phi'(x){dx}=\integral_{0}^{\infty}(sinx+xcosx)\phi{dx}-\integral_{-\infty}^{0}(sinx+xcosx)\phi{dx}=\integral_{-\infty}^{\infty}2\theta(sinx+xcosx)\phi{dx}=2\theta(sinx+xcosx)\]
[/mm]
wobei [mm] \[\theta\] [/mm] die Heavisidefunktion ist. Ich habe allerdings große Zweifel an diesem Rechengang. Bitte um Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 Fr 07.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Integrator,
> Was sind die ersten 3 Ableitungen der regulären
> Distribution [mm]\[|x|sin(x)\]?[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Ist meine Rechnung korrekt?:
> [mm]\[T_f '=-\integral_{-\infty}^{\infty}|x|sin(x)*\phi'(x){dx}\][/mm]
>
> = [mm] $-\integral_{-\infty}^{0}(sin(x)+xcosx)*\phi{\red '}(x){dx}+\integral_{0}^{\infty}(sin(x)+xcosx)*\phi{\red'}(x){dx}$
[/mm]
Da hast du ja schon partiell integriert, da darf nicht mehr die Ableitung von [mm] \phi [/mm] stehen, ist aber wohl nur ein Tippfehler.
[mm] =\integral_{0}^{\infty}(sinx+xcosx)\phi{dx}-\integral_{-\infty}^{0}(sinx+xcosx)\phi{dx}=\integral_{-\infty}^{\infty}2\theta(sinx+xcosx)\phi{dx}=2\theta(sinx+xcosx)
[/mm]
Hm,ich glaub das stimmt nicht, da müsstest du erklären, was dein Gedankengang war. Wie wärs mit folgender Idee: es ist ja
$-sin(x)=sin(-x)$ wg. Punktsymmetrie, dann betrachte mal den Teil
[mm] -\integral_{-\infty}^{0}(sin(x)+xcosx)*\phi(x){dx}=\integral_{-\infty}^{0}(-sin(x)+(-x)cosx)*\phi(x){dx}=\integral_{-\infty}^{0}(sin(-x)+(-x)cosx)*\phi(x){dx} [/mm] und weil x<0 ist
[mm] =\integral_{-\infty}^{0}(sin|x|+|x|cosx)*\phi(x){dx} [/mm] und da man für das andere Integral auch schreiben kann:
[mm] \integral_{0}^{\infty}(sinx+xcosx)\phi(x){dx}=\integral_{0}^{\infty}(sin|x|+|x|cosx)\phi(x){dx}
[/mm]
fügt sich das zur regulären Distribution $sin|x|+|x|cos(x)$ zusammen.
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Danke für die Hilfe! Das scheint mir plausibel und ist so gesehen en schönes resultat, weil die Ableitung der Distribution in diesem Fall mit der Ableitung der Funktion übereinstimmt.
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