reguläre Werte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Sa 28.06.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Bestimme die reg. Werte der Abbildung
[mm] f:\IR^3 [/mm] --> [mm] \IR; (x,y,z)->(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)-4R^2(x^2+y^2) [/mm] für 0 < r < R. |
hi zusammen ^^
also in der vorlesung wurde uns schon gesagt, dass der reguläre wert 0 ist, nur wie kommt man darauf?
p ist ein reg. wert, wenn für alle x aus der p-Niveaumenge reg. punkte sind, eben wenn Df|p (differential von f an p) surjektiv ist.
also Df = [mm] \vektor{4x(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)-8R^2x \\ 4y(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)-8R^2y \\ 4z(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2}.
[/mm]
ich dachte mir jetzt:
wenn das differential von (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) wieder basisvektoren "ausspuckt", spannt doch dieser raum ebenf. einen [mm] \IR^3 [/mm] auf, wie auch der def.bereich, so ist doch die surjektivität gezeigt oder?
zudem gilt ja Df(x,y,z) = 0 für z=0 und [mm] x^2+y^2 [/mm] = [mm] R^2+r^2. [/mm]
nur wie erreiche ich jetzt, dass die reg. werte 0 sind?
hab glaub ich voll die tomaten vor den augen xD
lieben gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 So 29.06.2008 | | Autor: | janm |
p ist ein regulärer Wert einer Abbildung f, wenn [m]f^{-1}(p)[/m] nur aus regulären Punkten besteht. Regulär bedeutet ja, die Jacobische hat maximalen Rang. Du kannst also schaun, welche Punkte nicht regulär sind und welche Werte diese haben.
In deinem Fall ist es dazu am einfachsten, den Gradienten von f zu berechen und diesen = 0 zu setzten. (x,y,z) ist dann ein regulärer Punkt, wenn der Gradient nicht identisch null ist, denn dann hat [m]\nabla f(x,y,z)[/m] mindestens eine nicht null Zeile und damit hat die Jacobische den Rang 1.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mo 30.06.2008 | | Autor: | eumel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
also der gradient ist \pmat{4x(x^2+y^2+z^2-R^2-r^2)\\4y(x^2+y^2+z^2-R^2-r^2)\\4z(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)}.
eben für (x,y,z)=(0,0,0) und 0 soll laut vorlesung ein reg. wert dafür sein, nur wie kommt man drauf? und gibt es mehrere?
hab auch ma schnell geguckt, was mit basisvektoren (1,0,0)....(0,0,1) passiert, die werden auch auf basen abgebildet, nämlich auf (-4(1+R^2+r^2),0,0),(0,-4(1+R^2+r^2),0,0) u. (0,0,4(1+R^2-r^2) (die jeweiligen einträge der jakobimatrix bei einsetzen der jeweiligen vektoren)
wie sähe denn f^{-1} aus?
der gradient verschwindet für x = (0,0,0), nur wieso besteht das urbild von f^{-1} aus reg. punkten? nur weil für alle x \in \IR^3 gilt: Df(x) \not= (0,0,0} ?
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Mo 30.06.2008 | | Autor: | michivbs |
Ich glaube es gibt mehrere reguläre Werte nämlich alle c [mm] \not= (R^2-r^2)^2 [/mm] . Weil x=y=z=0 der einzige irreguläre Punkt ist und der eben nur im Bild von [mm] (R^2-r^2)^2 [/mm] auftaucht. Wie man [mm] f^{-1}(0) [/mm] skizzieren soll peil ich nicht...
mfG Michi
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