reihe konstruieren < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Mi 17.12.2008 | | Autor: | relation |
| Aufgabe | | Finde die Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] so dass die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] positiven konvergenzradius r>0 hat und für alle |x|<r gegen die fkt. f(x)= [mm] \bruch{1}{x^2-2x-3} [/mm] konvergiert. wie lautet der konvergenzradius? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
der konvergenzradius ist nicht einfach der kehrwert von f(x), oder?--das ist nur so, wenn ich den gw von [mm] a_n [/mm] betrachte, hier kvg aber die ganze reihe gegen f(x).
aber wie gehe ich bei der konstruktion einer solchen reihe dann vor?
würde mich über tipps sehr freuen,
danke und tschüss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Mi 17.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Finde die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] so dass die Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n[/mm] positiven konvergenzradius r>0
> hat und für alle |x|<r gegen die fkt. f(x)=
> [mm]\bruch{1}{x^2-2x-3}[/mm] konvergiert. wie lautet der
> konvergenzradius?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> der konvergenzradius ist nicht einfach der kehrwert von
> f(x), oder?--das ist nur so, wenn ich den gw von [mm]a_n[/mm]
> betrachte, hier kvg aber die ganze reihe gegen f(x).
>
Was den Konvergenzradius betrifft, so mache Dich so umgehend wie geschwind ganz schlau !!!
> aber wie gehe ich bei der konstruktion einer solchen reihe
> dann vor?
> würde mich über tipps sehr freuen,
Tipps:
1. $ [mm] x^2 [/mm] -2x-3 = (x+1)(x-3) $
2. Mache den Ansatz: [mm] \bruch{1}{(x+1)(x-3)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-3} [/mm] und bestimme A und B
3. [mm] \bruch{1}{x-3} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{3}\bruch{1}{1-x/3}, [/mm] jetzt geometrische Reihe
4. [mm] \bruch{1}{x+1} =\bruch{1}{1-(-x)}, [/mm] jetzt geometrische Reihe
FRED
>
> danke und tschüss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Mi 17.12.2008 | | Autor: | relation |
gut, hab ich gemacht, es steht dann f(x)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-\bruch{1}{4}) (-x)^n+ \summe_{n=0}^{\infty}(-\bruch{1}{12}) (\bruch{x}{3})^n
[/mm]
und wenn ich das dann noch weiter zusammenfasse, dann habe ich meine potenzreihe, die gegen f(x) konvergiert, oder? ist es dann überhaupt richtig, wenn ich oben schreibe f(x)=....
und mein eigentliches problem besteht nun darin, dass ich keine ahnung habe, wie ich den ausdruck oben noch weiter umformen kann, damit ich dann die gewollte form [mm] a_nx^n [/mm] habe, denn [mm] (-x)^n [/mm] und [mm] x^n [/mm] kann ich ja nicht einfach so zusammenrechnen, oder habe ich hier gerade nen totalen denkfehler?!
besten dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mi 17.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Die erste Reihe konvergiert für |x| < 1und die zweite für |x|<3. Beide Reihen konvergieren dann für |x|<1.
Für |x|<1: (beachte: [mm] (-x)^n [/mm] = [mm] (-1)^nx^n)
[/mm]
f(x)= $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-\bruch{1}{4}) (-x)^n+ \summe_{n=0}^{\infty}(-\bruch{1}{12}) (\bruch{x}{3})^n [/mm] $
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{4}(-1)^{n+1}x^n -\bruch{1}{12}\bruch{x^n}{3^n}) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}1/4((-1)^{n+1}-\bruch{1}{3^{n+1}})x^n,
[/mm]
also [mm] a_n [/mm] = [mm] 1/4((-1)^{n+1}-\bruch{1}{3^{n+1}})
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mi 17.12.2008 | | Autor: | relation |
ok, damit komme ich dann auf nen kvg-radius von 1. das passt ja auch ganz gut mit |x|<1 von der geom.reihe von oben--oder hat das gar nix mehr miteinander zu tun?
danke und tschüss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:43 Do 18.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Doch !
Nochmal:
""Die erste Reihe konvergiert für |x| < 1und die zweite für |x|<3. Beide Reihen konvergieren dann für |x|<1. ""
Zusatz: beide Reihen sind geometrische Reihen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:21 Do 18.12.2008 | | Autor: | relation |
jaja, das weiß ich doch! aber trotzdem habe ich doch später die potenzreihe ebenfalls untersucht, für [mm] a_n [/mm] einen gw von 1 ermittelt und damit einen kvg-radius von 1. das muss ich doch auch machen, oder? und am ende muss man die ergebnisse der beiden geometr.reihen von oben mit dem gw 1 von [mm] a_n [/mm] vergleichen--und das stimmt idealerweise überein, oder?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Do 18.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Von was redest Du ?
Die Herleitung zeigt doch, dass der Konvergenzradius = 1 ist.
Du bist fertig!
FRED
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Fred,
$ \summe_{n=0}^{\infty} (-\bruch{1}{4}) (-x)^n+ \summe_{n=0}^{\infty}(-\bruch{1}{12}) (\bruch{x}{3})^n $
= $ \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{4}(-1)^{n+1}x^n -\bruch{1}{12}\bruch{x^n}{3^n}) $ = $\underbrace{\summe_{n=0}^{\infty}1/4((-1)^{n+1}-\bruch{1}{3^{n+1}})x^n}}_{=1}, $
Könntest du mir erkären, wie du auf 1 kommst. Den Rest sehe ich....
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> Hallo Fred,
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-\bruch{1}{4}) (-x)^n+ \summe_{n=0}^{\infty}(-\bruch{1}{12}) (\bruch{x}{3})^n[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{4}(-1)^{n+1}x^n -\bruch{1}{12}\bruch{x^n}{3^n})[/mm]
> =
> [mm]\underbrace{\summe_{n=0}^{\infty}1/4((-1)^{n+1}-\bruch{1}{3^{n+1}})x^n}}_{=1},[/mm]
>
> Könntest du mir erkären, wie du auf 1 kommst. Den Rest sehe
> ich....
Hallo,
ich bin nicht Fred, ich sehe aber auch nirgendwo, daß er irgendwo behauptet hat, daß die Summe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}1/4((-1)^{n+1}-\bruch{1}{3^{n+1}})x^n [/mm] gleich 1 ist.
Was meinst Du bzw. worauf beziehst Du Dich?
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
tschuldige ich meinte was völlig anderes..
Eigentlich meinte die Umformung 1, nicht das es 1 ist.....
Liebe Grüße
sachsen-junge
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Hallo Sachsen-Junge,
in dem erwähnten Schritt wird lediglich [mm] $x^n$ [/mm] ausgeklammert und dann zusammengefasst.
Ohne Summenzeichen:
[mm] $\frac{1}{4}\cdot{}(-1)^{n+1}\cdot{}\blue{x^n}-\frac{1}{12}\cdot{}\frac{\blue{x^n}}{3^n}=\blue{x^n}\cdot{}\left[\frac{1}{4}\cdot{}(-1)^{n+1}-\frac{1}{12}\cdot{}\frac{1}{3^n}\right]$
[/mm]
[mm] $=\left[\frac{1}{4}\cdot{}(-1)^{n+1}-\frac{1}{4\cdot{}3}\cdot{}\frac{1}{3^n}\right]\cdot{}x^n=\left[\frac{1}{4}\cdot{}(-1)^{n+1}-\frac{1}{4}\cdot{}\frac{1}{3\cdot{}3^n}\right]\cdot{}x^n=\left[\green{\frac{1}{4}}\cdot{}(-1)^{n+1}-\green{\frac{1}{4}}\cdot{}\frac{1}{3^{n+1}}\right]\cdot{}x^n$
[/mm]
Nun noch [mm] $\green{\frac{1}{4}}$ [/mm] ausklammern
[mm] $=\green{\frac{1}{4}}\cdot^{}\left((-1)^{n+1}-\frac{1}{3^{n+1}}\right)\cdot{}x^n$
[/mm]
LG
schachuzipus
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