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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 Mi 30.11.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Ist folgende Reihe divergent, konvergent oder absolut konvergent?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(n\pi)}{n^{3}}*(n+\pi)^{2} [/mm] |
ich habe mal vermutet dass es konvergiert, weil ja im nenner der stärkere exponent ist als im zähler, daher hab ich mal versucht mir eine konvergente majorante zu suchen
->
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(n\pi)}{n^{3}}*(n+\pi)^{2} \le \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+\pi)^{2}}{n^{3}} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}+2n+\pi^{2}}{n^{3}}
[/mm]
dies habe ich dann mit dem quotientenkriterium aufgelöst, vereinfacht, zusammengefasst und ausmultipliziert und habe dann als höchsten exponenten im zähler und im nenner [mm] n^{5}, [/mm] daher komme ich für den grenzwert auf 1, was mir ja sagt dass ich keine entscheidung treffen kann...
was kann ich hier sonst noch machen bzw. was kann ich hier noch prüfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
$cos(n [mm] \pi)=(-1)^n$
[/mm]
Leibniz
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Mi 30.11.2011 | | Autor: | mwieland |
dachte ich mir schon, hab das mal gemacht, bitte sagen ob das stimmt, hab relativ wenig plan bei reiehn usw...
hab eben mal den cos-teil vor den bruch gezogen und weggelassen, da dies ja nur das alternierende glied ist...
hab dann den absolutbetrag von [mm] \bruch{(n+\pi)^{2}}{n^{3}} [/mm] = wie der abolutbetrag von [mm] \bruch{n^{2}+2n\pi+\pi^{2}}{n^{3}}
[/mm]
dann seh ich dass ich nur positive vorzeichen habe überall und kann also den betrag weglassen und komme ganz einfach auf [mm] \bruch{n^{2}+2n\pi+\pi^{2}}{n^{3}}
[/mm]
nun will ich ja untersuchen ob dies eine monoton fallende nullfolge ist, also ob der grenzwert von dem null ist. ich dividiere alles durch [mm] n^{3}, [/mm] da dies ja der höchste exponent ist und im zähler wird alles 0 und im nenner bleibt mir die 1, also ist der grenzwert 0 --> reihe konvergent
stimmt das so?
dank und lg
mark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> dachte ich mir schon, hab das mal gemacht, bitte sagen ob
> das stimmt, hab relativ wenig plan bei reiehn usw...
>
> hab eben mal den cos-teil vor den bruch gezogen und
> weggelassen, da dies ja nur das alternierende glied ist...
>
> hab dann den absolutbetrag von [mm]\bruch{(n+\pi)^{2}}{n^{3}}[/mm] =
> wie der abolutbetrag von
> [mm]\bruch{n^{2}+2n\pi+\pi^{2}}{n^{3}}[/mm]
>
> dann seh ich dass ich nur positive vorzeichen habe überall
> und kann also den betrag weglassen und komme ganz einfach
> auf [mm]\bruch{n^{2}+2n\pi+\pi^{2}}{n^{3}}[/mm]
>
> nun will ich ja untersuchen ob dies eine monoton fallende
> nullfolge ist,
Genau
> also ob der grenzwert von dem null ist. ich
> dividiere alles durch [mm]n^{3},[/mm] da dies ja der höchste
> exponent ist und im zähler wird alles 0 und im nenner
> bleibt mir die 1, also ist der grenzwert 0 --> reihe
> konvergent
Nicht so hastig ! Zeigen mußt Du noch, dass ( $ [mm] \bruch{(n+\pi)^{2}}{n^{3}} [/mm] $) monoton fallend ist.
FRED
>
> stimmt das so?
>
> dank und lg
>
> mark
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Mi 30.11.2011 | | Autor: | mwieland |
achso kann ich das nicht einfach dann als folge mehr oder weniger hernehmen, und einfach das alles durch den höchsten exponenten dividieren, damit mir fast alles n wegfallen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> achso kann ich das nicht einfach dann als folge mehr oder
> weniger hernehmen, und einfach das alles durch den
> höchsten exponenten dividieren, damit mir fast alles n
> wegfallen?
Doch, das machst Du , um zu zeigen, dass die Folge eine Nullfolge ist. Zeigen mußt Du noch die Monotonie
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:05 Mi 30.11.2011 | | Autor: | mwieland |
aha ok... und wie mache ich das zB bei diesem Bsp?
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> aha ok... und wie mache ich das zB bei diesem Bsp?
Hallo,
???
Das können wir doch nicht wissen, Du hast uns ja Deine diesbezüglichen Rechnungen nicht gezeigt.
Wie machst Du es denn bei anderen Beispielen,
was ist überhaupt zu zeigen,
was hast Du bisher versucht und wo scheiterst Du weshalb?
Gruß v. Angela
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