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| Aufgabe | | Eine Parabel 3. Ordnung ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Wendetangente hat die Steigung [mm] \bruch{-9}{16} [/mm] ; die 1. Winkelhalbierende schneidet die Parabel für x= [mm] \bruch{5}{4}. [/mm] |
Hey ihr! Ich übe für eine Klausur nächste Woche und komme bei der Aufgabe nicht weiter. Ein bisschen was hab ich schon, aber dann hängt's.
Also:
f(x)= [mm] ax^{3}+bx+c
[/mm]
f'(x)= [mm] 3ax^{2}+b =\bruch{-9}{16}
[/mm]
f''(x)= 6ax
Die 1. Winkelhalbierende ist soweit ich weiß die Winkelhalbierende des 1. Quadranten und somit
[mm] y=f(x)=\bruch{5}{4} [/mm]
Da sie die Parabel dort schneidet, befindet sich die Parabel auch in diesem Punkt. Also:
[mm] f(\bruch{5}{4})=\bruch{125}{64}a+\bruch{5}{4}b+c=\bruch{5}{4}
[/mm]
Nun weiß ich nicht weiter.
Wäre toll, wenn ihr mir einen Tipp zur Lösung geben könntet ;)
LG, kaktus1304
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Abend
Also zuerst einmal würde ich mir eine Funtion dritten Grades mit allen Gliedern allgemein aufschreiben:
[mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
Im ersten Satz der Aufgabe stecken schon zwei Informationen über die Funktion. Da die Funktion punktsymetrisch zum Ursprung (0/0) ist, liegt der Punkt (0/0) ?
So lässt sich schon mal eine Variable eliminieren.
Nun gilt aufgrund der Punktsymetrie zu (0/0) f(-x)= - f(x)
Angewandt auf die Funktion(einfach -x einsetzten und dann mit -f(x) vergleichen) ergibt sich: Ein weiteres Glied der Funktion fällt weg. Es bleiben zwei Glieder übrig. Nun allgemein die Ableitung bestimmen.
Die Wendetangente soll den Anstieg [mm] -\bruch{9}{16} [/mm] haben. Also benötigen wir zuerst den Wendepunkt. Der liegt wie man leicht sehen bei x=0, da die zweite Ableitung an der Stelle 0 ist.(Notwendige Bedingung). Diese stelle jetzt in die erste ableitung einsetzten und das gleich [mm] \bruch{9}{16} [/mm] rechnen. Nun haben wir einen weiteren Parameter bestimmt. Die Winkelhalbierende der ersten Quadranten ist f(x)=x. Also ist [mm] \bruch{5}{4} [/mm] = deiner Funktion an der Stelle [mm] x=\bruch{5}{4}.
[/mm]
So bestimmst du den letzten Parameter.
Das Ergebnis lautet dann [mm] x^3-\bruch{9}{16} [/mm] x
Versuch den Rechenweg nachzurechnen zum besseren Verständnis
Operation gelungen Patient tot
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