rektifizierbare kurve, metr. R < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:00 So 13.11.2011 | | Autor: | jay91 |
| Aufgabe | sei [mm] (\IR^n,d_{W}) [/mm] ein metrischer Raum wobei [mm] d_{W}(p,q)=||p-q||^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Beh: In [mm] (\IR^n,d_{W}) [/mm] gibt es keine nicht konstanten rektifizierbaren Kurven |
hey!
es gilt [mm] L(c)=sup\{{\summe_{i=1}^{k}(d(c(t_{i-1}),c(t_{i})))| a \le t_0 < ...
und c ist rektifizierbar wenn [mm] L(c)<\infty
[/mm]
kann mir das jemand bitte zeigen?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 Mo 14.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du bist doch schon so lange im forum, dass du weisst, dass wir erstmal sehen wollen, was du bisher überlegt, oder gemacht hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Mo 14.11.2011 | | Autor: | jay91 |
hey!
ja folgendes habe ich schon gemacht.#
erstmal ist [mm] (\IR^n,d_W) [/mm] ein metrischer Raum, da:
[mm] d_W(p,q)=0 [/mm]
gdw. [mm] ||p-q||^{\bruch{1}{2}} [/mm] = 0
gdw. ||p-q||=0
gdw. p=q
[mm] d_W(p,q)=||p-q||^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] ||-(p-q)||^{\bruch{1}{2}} [/mm]
[mm] =||q-p||^{\bruch{1}{2}}=d_W(q,p)
[/mm]
und die Dreiecksungleichung gilt, da:
[mm] (||p-q||^{\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] ||q-r||^{\bruch{1}{2}} )^2
[/mm]
= ||p-q|| + 2 * [mm] ||p-q||^{\bruch{1}{2}} ||q-r||^{\bruch{1}{2}} [/mm] +||q-r||
[mm] \ge [/mm] ||r-r||
=> dreiecksungleichung da die wurzelfunktion auf [mm] [0,\infty) [/mm] streng monoton ist
sei
c konstant, dann folgt c(t)=c(t') für alle t,t' [mm] \in [/mm] [a,b]
also L(c)=0
nicht eigentlich L(c)=b-a ?
aber was ist wenn c nicht konstant ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Mo 14.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
ich zeig dir an nem Beispiel , was schief geht. die einfachst Kurve ist eine Strecke, in der üblichen Metrik habe sie die Länge 1
etwa im [mm] R^2 c(t)=\vektor{1\\0} 0\le t\le1
[/mm]
unterteile sie in 10 gleiche Teile das gäbe deine summe [mm] 10*\wurzel{0,1}=3,16
[/mm]
untertel in 100 Teile: [mm] 100*\wurzel{0.01}=10 [/mm] unterteil in [mm] 10^8 [/mm] Teile
[mm] 10^8*\wurzel{10^{-8}}=10^4
[/mm]
jetz rechne das sup aus, wobei du auch in [mm] 10^{2n} [/mm] Unterteilungen machen kannst!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mo 14.11.2011 | | Autor: | jay91 |
ok, danke.
für dein beispiel müsste dann gelten:
sup [mm] \{\summe_{i=1}^{n} d(c(t_i),c(t_{i-1}))|0 \le t_0 < ...
[mm] \ge [/mm] sup [mm] \{\summe_{i=1}^{n} d(c(t_i),c(t_{i-1}))|0 = t_0 < ...
[mm] \ge [/mm] sup [mm] \{\summe_{i=1}^{n} d(c(t_i),c(t_{i-1}))|0 < 1/n ... <(n-1)/n < 1, c(t)=\vektor{1 \\ 0}\} [/mm] (wieder speziellere Unterteilung)
= sup [mm] \{\summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{n})^{\bruch{1}{2}}| n \in \IN\}
[/mm]
= sup [mm] \{n* (\bruch{1}{n})^{\bruch{1}{2}}| n \in \IN\}
[/mm]
= sup [mm] \{n^{\bruch{1}{2}}| n \in \IN\}
[/mm]
= [mm] \infty
[/mm]
oder nicht?
gilt beim 1. größer gleich zeichen nicht sogar gleichheit? wenn ja warum?
jetzt aber allgemein:
sup [mm] \{\summe_{i=1}^{n} d(c(t_i),c(t_{i-1}))|a \le t_0 < ...
[mm] \ge [/mm] sup [mm] \{\summe_{i=1}^{n} d(c(t_i),c(t_{i-1}))|a < a+\bruch{b-a}{n} < ... < a+\bruch{b-a}{n}*(n-1)
und jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mo 14.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du denn auf die Ungleichung
sup $ [mm] \summe_{i=1}^{n} d(c(t_i),c(t_{i-1}))|a [/mm] < [mm] a+\bruch{b-a}{n} [/mm]
vergleich mal mit dem Beispiel!
was du geschrieben hast ist Unsinn. außerdem solltest du [mm] d_W [/mm] verwenden und nicht d
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Mo 14.11.2011 | | Autor: | jay91 |
hey!
warum ist das unsinn?
ich habe das doch genauso gemacht wie in den beispiel.
ich habe erstmal eine ganz beliebige unterteilung [mm] t_0<...
und jetzt nehme ich eine spezielle unterteilung analog zu 0<1/n< ... < (n-1)/n<1
nur zwischen a und b
deshalb wird das supremum über die menge mit der speziellen unterteilung kleiner.
mit d soll oben [mm] d_W [/mm] gemeint sein... sorry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Di 15.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab gefragt wie du auf die ungleichung kommst! und du willst doch beweisen dass das sup frößer als... ist, nicht kleiner. die ungleichung ist einfach falsch, sonst begründe sie. da steht ja einfach nur one begründung und Rechnung und ohne [mm] d_W [/mm] zu benutzen ein < Zeichen zwischen 2 Ausdrücken.
sien nochmal nach wie du es in dem Bsp gemacht hast. vielleicht solltest du auch dort den Zusammenhang mit [mm] d_w [/mm] noch deutlicher machen!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Fr 18.11.2011 | | Autor: | jay91 |
ok, ich habe mir folgendes gedacht:
allgemein gilt:
sup [mm] \{\summe_{i=1}^{n} d_W(c(t_i),c(t_{i-1}))|a \le t_0 < ...
[mm] \ge [/mm] sup [mm] \{\summe_{i=1}^{n} d_W(c(t_i),c(t_{i-1}))|a < a+\bruch{b-a}{n} < ... < a+\bruch{b-a}{n}*(n-1)
das größer gleich kommt, dadurch zustande, da ich mir speziellere Unterteilungen wähle, deshalb gilt:
[mm] \{\summe_{i=1}^{n} d_W(c(t_i),c(t_{i-1}))|a \le t_0 < ...
[mm] \supseteq {\summe_{i=1}^{n} d_W(c(t_i),c(t_{i-1}))|a < a+\bruch{b-a}{n} < ... < a+\bruch{b-a}{n}*(n-1)
und daraus folgt die Ungleichung.
die kleiner gleichs in der Menge sind nur meine Unterteilungen des intervalls. zuerst habe ich eine beliebe unterteilung und dann sind die abstände zwischen den unterteilungen immer gleich groß.
wie komme ich an dieser stelle dann weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Fr 18.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab deine gleichung falsch gelesen, d.h. den | vor a übersehen.
Warum machst dus nicht genau wie bei der Geraden?
Gruss leduart
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