rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch {a_{n}}{a_{n}^2-2a_{n}+3} [/mm] |
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Hallo zusammen
Also ich habe noch so meine Probleme mit rekursiv definierten Folgen und der vollständigen Induktion ich weiß nie genau ob ich sie anwenden muss und ob ich sie für die Monotonie oder die Beschränktheit brauche. Also ich hab die Aufgabe folgendermaßen angefangen. Zunächste 2 weiter Folgeglieder ausgerechnet und dann kann man vermuten dass die Folge monoton fällt. Dann muss man das ja beweisen dass sie monoton fällt indem man
[mm] a_{n+1} -a_{n} \le [/mm] 0 betrachtet aber da komm ich auf keine vernünftige Lösung. Außerdem müsste ich dann noch die Beschränkheit beweisen. Wie würde ich das anfangen?
Danke schon mal im voraus
Lg
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Zunächst einmal kann man erkennen, daß alle Folgenglieder positiv sind. Man sieht das an der Rekursionsvorschrift:
[mm]a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n^{\ 2} - 2 a_n + 3} = \frac{a_n}{\left( a_n - 1 \right)^2 + 2}[/mm]
Im letzten Bruch ist der Nenner auf jeden Fall positiv. Und wenn nun der Zähler es ebenso ist, ist es auch der ganze Bruch (positiv durch positiv gibt positiv). Das ist sozusagen der Induktionsschritt für die Behauptung [mm]a_n > 0[/mm]. Der Induktionsanfang ist mit [mm]a_1 = 0{,}5 > 0[/mm] sowieso gegeben. Als positive Folge ist [mm](a_n)[/mm] aber nach unten beschränkt.
Für die Monotonie mußt du [mm]a_{n+1} \leq a_n[/mm] zeigen. Mit anderen Worten:
[mm]\frac{a_n}{a_n^{\ 2} - 2 a_n + 3} \leq a_n[/mm]
Beginne mit der Behauptung und forme sie äquivalent um, bis du eine offensichtlich wahre Aussage erhältst. Du mußt dich dabei Schritt für Schritt davon überzeugen, daß du tatsächlich nur Äquivalenzumformungen durchführst. Denn eigentlich darf man einen Beweis niemals mit der Behauptung beginnen.
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vielen dank! super! ich glaub so schaff ich das
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