rekursive Def. mit Auswahlen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:20 Fr 26.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
| Aufgabe 1 | | Sei [mm] $\emptyset\not=X\subseteq\IR$ [/mm] mit der Eigenschaft, dass für alle [mm] $x\in [/mm] X$ ein [mm] $y\in [/mm] X$ mit $x<y$ existiert. Dann existiert eine Folge [mm] $x_0 |
Naiver Beweis:
Wir konstruieren [mm] $(x_n)_{n\in\IN_0}$ [/mm] rekursiv:
Da [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] existiert ein [mm] $x_0\in [/mm] X$.
Sei nun [mm] $x_n\in [/mm] X$ konstruiert für ein [mm] $n\in\IN_0$. [/mm] Dann existiert ein [mm] $x_{n+1}\in [/mm] X$ mit [mm] $x_n
Auf diese Weise erhalten wir eine Folge der gewünschten Art.
Unklar ist hierbei, warum die rekursive "Definition" trotz Auswahlmöglichkeit in jedem Schritt möglich ist.
Daher präziser Beweis:
Gemäß Auswahlaxiom existiert eine Familie [mm] $(y_x)_{x\in X}$ [/mm] mit [mm] $y_x>x$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$. Da $X$ nichtleer ist, existiert ein [mm] $x\in [/mm] X$. Nach dem Satz über rekursive Definitionen gibt es (genau) eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN_0}$ [/mm] mit [mm] $x_0=x$ [/mm] und [mm] $x_{n+1}=y_{x_n}$. [/mm] Diese leistet offenbar das Gewünschte.
Auf diese Weise bin ich es gewöhnt, naiv formulierte rekursive Konstruktionen mit Auswahlen in jedem Schritt zu akzeptieren. Denn man könnte sie ja problemlos präzise umformulieren.
Dachte ich zumindest, bis mir in einem Beweis eine Argumentation der folgenden Art begegnete:
| Aufgabe 2 | | Sei [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] eine nichtleere "Klasse" von Mengen mit der Eigenschaft, dass für alle [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] ein [mm] $B\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $A\subsetneq [/mm] B$ existiert. Folgt dann die Existenz einer Folge [mm] $(A_n)_{n\in\IN_0}$ [/mm] von Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $A_0\subsetneq A_1\subsetneq A_2\subsetneq\ldots$? [/mm] |
Naiv würde man wohl ja sagen und wie oben argumentieren:
Wir konstruieren eine solche Folge rekursiv:
Da [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] nichtleer ist, existiert ein [mm] $A_0\in\mathcal{A}$.
[/mm]
Sei nun [mm] $A_n$ [/mm] konstruiert für ein [mm] $n\in\IN_0$. [/mm] Dann existiert ein [mm] $A_{n+1}\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $A_n\subsetneq A_{n+1}$.
[/mm]
Auf diese Weise erhalten wir eine Folge der gewünschten Art.
Aber hier lässt sich nicht so einfach mit dem Auswahlaxiom für Mengen argumentieren: Denn [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist nun einmal nur als Klasse vorausgesetzt!
Kriegt jemand einen Beweis hin, ohne ein Auswahlaxiom für Klassen zu benötigen?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Sa 27.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Jetzt ist mir doch noch ein Beweis eingefallen, dass jede Klasse wohlgeordnet werden kann, wenn Global Choice gilt. Somit ist ein Beweis meiner Aussage aus dem Ursprungsposting mittels Global Choice doch klar.
Weiterhin suche ich einen Beweis, der ohne Global Choice (also mit der üblichen naiven Mengenlehre oder den ZFC-Axiomen) auskommt!
Es darf gerne angenommen werden, dass die Klasse [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] durch eine Formel definierbar ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:51 Mi 08.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hat sich erübrigt!
Ein Mengenlehre-Experte hat mir folgenden ZFC-Beweis verraten:
Eine Folgerung aus dem Fundierungsaxiom (von wegen "braucht man außerhalb der Mengenlehre nicht"...) ist ja, dass jede Menge in einem [mm] $V_\alpha$ [/mm] für eine Ordinalzahl [mm] $\alpha$ [/mm] liegt [mm] ($V_0:=\emptyset$, $V_{\alpha+1}:=\mathcal{P}(V_\alpha)$, $V_\lambda:=\bigcup_{\alpha<\lambda}V_\alpha$ [/mm] für Limesordinalzahlen [mm] $\lambda$).
[/mm]
Sei für Ordinalzahlen [mm] $\alpha$ [/mm] die Menge [mm] $\mathcal{A}_\alpha$ [/mm] definiert durch
[mm] $\mathcal{A}_\alpha:=\mathcal{A}\cap V_\alpha$.
[/mm]
Wir konstruieren nun eine Folge [mm] $(\alpha_n)_{n\in\IN_0}$ [/mm] von Ordinalzahlen mit [mm] $\mathcal{A}_{\alpha_n}\not=\emptyset$ [/mm] rekursiv durch
[mm] $\alpha_0:=$"kleinste [/mm] Ordinalzahl [mm] $\alpha$ [/mm] mit [mm] $\mathcal{A}_\alpha\not=\emptyset$"
[/mm]
[mm] $\alpha_{n+1}:=\sup_{A\in\mathcal{A}_{\alpha_n}}$"kleinste [/mm] Ordinalzahl [mm] $\alpha$, [/mm] für die ein [mm] $B\in\mathcal{A}_\alpha$ [/mm] mit [mm] $B\supsetneq [/mm] A$ existiert".
Sei [mm] $\alpha:=\sup_{n\in\IN_0}\alpha_n$.
[/mm]
Mittels Auswahlaxiom existiert eine Wohlordnung $<$ von [mm] $\mathcal{A}_\alpha$.
[/mm]
Nun definieren wir rekursiv:
[mm] $A_0:=$"das [/mm] $<$-kleinste Element von [mm] $\mathcal{A}_{\alpha_0}$"
[/mm]
[mm] $A_{n+1}:=$"das [/mm] $<$-kleinste Element [mm] $B\in\mathcal{A}_{\alpha_{n+1}}$ [/mm] mit [mm] $B\supsetneq A_n$".
[/mm]
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Axiom of global choice
