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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Di 04.08.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die erzeugende Funktion [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*t^n [/mm] zu der Folge:
[mm] 2a_n-a_{n-1}-a_{n-2}=1 [/mm] mit [mm] a_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}, a_1=\bruch{3}{4} [/mm] |
Hi!
Die Aufgabe musste ich vergangenes Semester lösen. Meine Lösung sah so aus:
- [mm] 2a_n-a_{n-1}-a_{n-2}=1 [/mm] nach [mm] a_n [/mm] auflösen
- [mm] a_n [/mm] in [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*t^n [/mm] einstetzen und den Index anpassen
- den Ausdruck umformen/vereinfachen (erfordert weitere Indexverschiebungen), sodass man später 3 Summanden mit einer Summe über [mm] a_n [/mm] da stehen hatte.
- von den einzelnen Summanden die erzeugende Funktion aufschreiben (ich habe quasi den recht komplexen Ausdruck [mm] a_n [/mm] auf 3 weniger komplexe zurückgeführt, wovon die Funktionen bekannt sind) und zusammenrechnen.
Das ist laut meinem Tutor auch richtig, nur sehr aufwändig. Folgendes sagt mir die Musterlösung:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*t^n [/mm] = [mm] \summe_{n=2}^{\infty}(2a_n-a_{n-1}-a_{n-2})*t^n [/mm] = [mm] \summe_{n=2}^{\infty}1*t^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-t}-t^0-t
[/mm]
Warum man das so machen darf weiß ich nicht genau, also klar ist, dass [mm] \summe_{n=2}^{\infty}(2a_n-a_{n-1}-a_{n-2})*t^n [/mm] = [mm] \summe_{n=2}^{\infty}1*t^n [/mm] gelten muss laut Aufgabe.
Nur wieso darf man einfach diesen Ausdruck für [mm] a_n [/mm] einsetzen?
Und wieso tauchen diese [mm] "t^0-t [/mm] " beim Aufstellen der eigentlichen Funktion mit auf? Müsste das wenn nicht die ganze Zeit (durch die Indexverschiebung auf 2) dabei sein?
Also irgendwie werde ich aus der Lösung nicht ganz schlau...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Di 04.08.2009 | | Autor: | wauwau |
Das erste = ist auch nicht richtig.
Das zweite schon und führt nach umformung zur gewünschten Lösung...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Di 04.08.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hm dazu dann zwei Fragen:
- Diese Gleichung kann ich "immer" (d.h. z.B. auch wenn [mm] 2a_n-a_{n-1}-a_{n-2}) [/mm] = 10 gilt) aufstellen, wenn ich den Faktor vor dem [mm] t^n [/mm] entsprechend ändere oder?
- Wieso " [mm] -t-t^0 [/mm] " und nicht + oder so?Müsste der Ausdruck nicht schon hinter der ersten Summe stehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Di 04.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast:
$ [mm] \summe_{n=2}^{\infty}(2a_n-a_{n-1}-a_{n-2})\cdot{}t^n=\summe_{n=2}^{\infty}1*t^n [/mm] $
das ist die geometrische Reihefuert aber ohne die Glieder n=0 und n=1. also muss man die von der Summe der geom. Reihe abziehen ,
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}1*t^n=\summe_{n=0}^{\infty}1*t^n-t^0-t.
[/mm]
Dann kannst du die Summe aufteilen und nach [mm] 2*\summe_{n=2}^{\infty}a_n*t^n [/mm] aufloesen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Di 04.08.2009 | | Autor: | Pille456 |
Ah alles klar, das macht Sinn!
Danke!
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