rekursive folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Sa 10.01.2009 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | ich habe diese rekursiv definierte folge:
[mm] a_(n+1)=1/2(a_n+2/a_n) [/mm] mit [mm] a_1=2
[/mm]
nun soll ich den grenzwert bestimmen. |
ich muss also monotonie und beschränktheit zeigen, aber wie mach ich sowas? sorry kenn mich da nicht so aus. mit dem taschenrechner bekomm ich wurzel 1. hab erfahren das es sich um das heron verfahren handelt. das sagt mir nicht viel und das bringt ja in bei meinem problem nichgt so wirklich. kann mir wer helfen?
lg
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:37 Sa 10.01.2009 | | Autor: | jumape |
Hi,
also ich würde mir die Vorschrift einmal ausmultiplizieren, dann kommst du auf:
[mm] a_{n+1}=0,5a_n+\bruch{1}{a_n}
[/mm]
Dann spalte die Vorschrift in zwei auf
[mm] a1_{n+1}=0,5a_n
[/mm]
[mm] a2_{n+1}=\bruch{1}{a_n}
[/mm]
Dann kannst du direkt ablesen:
[mm] a1_{n}=(0,5)^{n-1}a_1
[/mm]
[mm] a2_{n}\in \{0,5;2\}
[/mm]
Damit konvergiert das erste gegen 0 und das zweite ist immer in diesen zwei.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:48 Sa 10.01.2009 | | Autor: | reverend |
Das geht allerdings nicht, jumape.
Berechne einfach einmal das nächste Glied der Folge. Die Rekursion erlaubt hier keine Trennung in zwei unabhängige Grenzwerte!
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 So 11.01.2009 | | Autor: | aly19 |
naja das nächste glied wäre 1,5 und das ganze konvergiert dann gegen wurzel 2, aber das hilfr mir ja kaum.
wie geht man an sowas rechnerisch ran?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo aly!
Verwende den Ansatz $A \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}$ [/mm] und setze dies in die Rekursionsvorschrift ein.
Anschließend nach $A \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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