rekursive folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Mi 09.11.2011 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | | Es sei x1 = 1 und x(n+1) [mm] =\sqrt{1 + x(n)} [/mm] . Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion: x(n)<x(n+1) |
hallo :)
habe gerade dieses beispiel begonnen.
mein ansatz wäre:
1.) induktionsanfang: [mm] x1=1
2.) induktionsvorraussetzung: es gelte x(n)<x(n+1)
3.) induktionsschluss:
[mm] x(n+1)=\sqrt{1 + x(n)}<\sqrt{1 + x(n+1)}=x(n+2)
[/mm]
[mm] 1+x(n)<1+x(n+1)=1+\sqrt{1 + x(n)}
[/mm]
[mm] x(n)<\sqrt{1 + x(n)} [/mm] <- führt wieder auf induktionsvorraussetzung
wäre mein beispiel damit gelöst ? oder reicht es nicht das zu zeigen ?
Liebe Grüße eure meely :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei x1 = 1 und x(n+1) [mm]=\sqrt{1 + x(n)}[/mm] . Zeigen Sie
> mittels vollständiger Induktion: x(n)<x(n+1)
> hallo :)
>
> habe gerade dieses beispiel begonnen.
> mein ansatz wäre:
>
> 1.) induktionsanfang: [mm]x1=1
>
> 2.) induktionsvorraussetzung: es gelte x(n)<x(n+1)
>
> 3.) induktionsschluss:
>
> [mm]x(n+1)=\sqrt{1 + x(n)}<\sqrt{1 + x(n+1)}=x(n+2)[/mm]
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> [mm]1+x(n)<1+x(n+1)=1+\sqrt{1 + x(n)}[/mm]
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> [mm]x(n)<\sqrt{1 + x(n)}[/mm] <- führt wieder auf
> induktionsvorraussetzung
>
> wäre mein beispiel damit gelöst ? oder reicht es nicht
> das zu zeigen ?
Doch, die Lösung ist ok so. Ich würd's noch ein bisschen anders hinschreiben:
Induktionsvoraussetzung x(n)<x(x+1)
[mm] \Rightarrow 1+x(n)<1+x(n+1)\Rightarrow \sqrt{1+x(n)}<\sqrt{1+x(n+1)}\Leftrightarrow [/mm] x(n+1)<x(n+2)=x((n+1)+1)
>
> Liebe Grüße eure meely :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Mi 09.11.2011 | | Autor: | meely |
vielen dank :) warst mir ne große hilfe. war schon ganz verzweifelt ob meine lösung korrekt ist
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mi 09.11.2011 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | g(n) sei rekursiv de niert durch: g(1)=1 , g(n+1)=(g(n)²)/(1+g(n))
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass g(n) > 0 für alle n ≥ 1 und
berechnen Sie g(n) für n ≤ 5 |
hab noch eine kurze frage. kann mir jemand einen tipp bzw. ansatz geben dieses beispiel zu lösen.
habe jetzt probiert zu zeigen dass diese folge monoton wachsend ist
also: g(n+1)<g(n+2)
und komme auf -(1/2) > g(n) für monoton wachsend. da aber in der angabe steht dass g(n)>0 sein soll für n [mm] \ge [/mm] 1 folgt daraus dass meine folge für -(1/2) < g(n) monoton fallend ist ?!
leider habe ich bei diesem beispiel keine ahnung wie ich es angehen soll :(
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> g(n) sei rekursiv de niert durch: g(1)=1 ,
> g(n+1)=(g(n)²)/(1+g(n))
>
> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass g(n) >
> 0 für alle n ≥ 1 und
> berechnen Sie g(n) für n ≤ 5
> hab noch eine kurze frage. kann mir jemand einen tipp bzw.
> ansatz geben dieses beispiel zu lösen.
>
g(n+1)=(g(n)²)/(1+g(n))>0 zu zeigen, ist nicht schwer, da nach Induktionsvoraussetzung Zählen und Nenner >0 sind
> habe jetzt probiert zu zeigen dass diese folge monoton
> wachsend ist
>
> also: g(n+1)<g(n+2)
monoton wachsend muss nicht sein.
Wenn du dir ein Bild machen willst, wie sich die Folge verhält, löst du erst den zweiten Teil der Aufgabe, dh. du berechnest g(2),...,g(5)
>
> und komme auf -(1/2) > g(n) für monoton wachsend. da aber
> in der angabe steht dass g(n)>0 sein soll für n [mm]\ge[/mm] 1
> folgt daraus dass meine folge für -(1/2) < g(n) monoton
> fallend ist ?!
>
> leider habe ich bei diesem beispiel keine ahnung wie ich es
> angehen soll :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 09.11.2011 | | Autor: | meely |
> g(n+1)=(g(n)²)/(1+g(n))>0 zu zeigen, ist nicht schwer, da
> nach Induktionsvoraussetzung Zählen und Nenner >0 sind
>
also meinst du, dass ich zuerst zeigen muss:
1+g(n) > 0 --> [mm] g(n)\not=(-1)
[/mm]
g(n)>-1
--> g(n)² > (-1)²=1
>
> monoton wachsend muss nicht sein.
> Wenn du dir ein Bild machen willst, wie sich die Folge
> verhält, löst du erst den zweiten Teil der Aufgabe, dh.
> du berechnest g(2),...,g(5)
>
für g(1) --> g(2)= 1/(1+1) = 1/2
g(3)=1/6 , g(4)=1/42 , g(5)=1/1806
also monoton fallend :)
wäre die aufgabe damit komplett gelöst oder habe ich noch etwas bei der beweisführung vergessen ?
Liebe Grüße meely
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Hallo meely,
> > g(n+1)=(g(n)²)/(1+g(n))>0 zu zeigen, ist nicht schwer, da
> > nach Induktionsvoraussetzung Zählen und Nenner >0 sind
>
> also meinst du, dass ich zuerst zeigen muss:
>
> 1+g(n) > 0 --> [mm]g(n)\not=(-1)[/mm]
> g(n)>-1
>
> --> g(n)² > (-1)²=1
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Was rechnest Du da für Unsinn?
[mm] g_n>0\Rightarrow g_n^2>0 \wedge 1+g_n>0\ \Rightarrow \bruch{g_n^2}{1+g_n}=g_{n+1}>0
[/mm]
> > monoton wachsend muss nicht sein.
> > Wenn du dir ein Bild machen willst, wie sich die Folge
> > verhält, löst du erst den zweiten Teil der Aufgabe, dh.
> > du berechnest g(2),...,g(5)
>
> für g(1) --> g(2)= 1/(1+1) = 1/2
>
> g(3)=1/6 , g(4)=1/42 , g(5)=1/1806
Stimmt.
> also monoton fallend :)
Das hast Du damit noch nicht gezeigt. Vielleicht wachsen die Folgenglieder ab g_88417 ja wieder.
> wäre die aufgabe damit komplett gelöst oder habe ich noch
> etwas bei der beweisführung vergessen ?
Wenn hier schon die komplette Aufgabe steht, dann hast Du alles ermittelt, was gefragt war.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mi 09.11.2011 | | Autor: | meely |
> Hallo meely,
>
>
> Was rechnest Du da für Unsinn?
>
> [mm]g_n>0\Rightarrow g_n^2>0 \wedge 1+g_n>0\ \Rightarrow \bruch{g_n^2}{1+g_n}=g_{n+1}>0[/mm]
>
naja dass g(n)>0 ist für n [mm] \ge [/mm] 1 muss ich doch zeigen ?! dass ist doch nur ne annahme der angabe die ich beweisen muss ?
deshalb hab ich gesagt 1+g(n) > 0 da ja der nenner nicht null sein darf. wobei mir gerade einfällt dass ich auch den fall < 0 betrachten müsste...
> > > monoton wachsend muss nicht sein.
> > > Wenn du dir ein Bild machen willst, wie sich die
> Folge
> > > verhält, löst du erst den zweiten Teil der Aufgabe, dh.
> > > du berechnest g(2),...,g(5)
> >
> > für g(1) --> g(2)= 1/(1+1) = 1/2
> >
> > g(3)=1/6 , g(4)=1/42 , g(5)=1/1806
>
> Stimmt.
>
> > also monoton fallend :)
>
> Das hast Du damit noch nicht gezeigt. Vielleicht wachsen
> die Folgenglieder ab g_88417 ja wieder.
danke da stimme ich dir zu :) ist aber eigentlich nicht mal gefragt.
>
> > wäre die aufgabe damit komplett gelöst oder habe ich noch
> > etwas bei der beweisführung vergessen ?
>
> Wenn hier schon die komplette Aufgabe steht, dann hast Du
> alles ermittelt, was gefragt war.
>
> Grüße
> reverend
>
vielen dank reverend :)
Liebe Grüße meely
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Hallo nochmal,
> > [mm]g_n>0\Rightarrow g_n^2>0 \wedge 1+g_n>0\ \Rightarrow \bruch{g_n^2}{1+g_n}=g_{n+1}>0[/mm]
>
> naja dass g(n)>0 ist für n [mm]\ge[/mm] 1 muss ich doch zeigen ?!
Das musst Du in der Tat. Es ist ja die eigentliche Aufgabe.
> dass ist doch nur ne annahme der angabe die ich beweisen
> muss ?
Nein, das oben ist der Induktionsschritt. Wenn [mm] g_n>0 [/mm] ist, dann ist auch [mm] g_{n+1}>0. [/mm] Und zusammen mit der Angabe [mm] g_1=1 [/mm] heißt das, dass alle [mm] g_n>0 [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] sind.
> deshalb hab ich gesagt 1+g(n) > 0 da ja der nenner nicht
> null sein darf. wobei mir gerade einfällt dass ich auch
> den fall < 0 betrachten müsste...
Nein, das musst Du nicht.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 Do 10.11.2011 | | Autor: | meely |
Danke hast mir sehr geholfen lieber reverend :)
Liebe Grüße, meely :)
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