rekursive folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Di 07.11.2006 | | Autor: | trixi86 |
| Aufgabe | geben sie für folgenden die [mm] a_{n} [/mm] geschlossene Ausdrücke an und beweisen sie diese:
a) [mm] a_{0} [/mm] = 3 ; [mm] a_{n+1}=\bruch{10-2a_{n}}{3} [/mm] bzw. [mm] a_{n+1}=\bruch{2}{3}*(5-a_{n}) n\in\IN
[/mm]
b) [mm] a_{1} [/mm] = 84 ; [mm] a_{n}=\bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n-1} a_{k} n\in\IN [/mm] \ {1} |
hallo ihr
bei diesen folgne komm ich irgendwie nicht auf die explizite darstellung. ich hoffe es kann mir jemand helfen. ich brauche auch nur die formel für die explizite darstellung.diese beweisen kann ich dann dur induktion. dies müsste ich auf die reihe kriegen.
ich hab zu den folgen folgende ansätze:
a) ich hab mal die ersten folgenglieder ausgerechnet und versucht ein system zu erkennen und bin zu folgendem ergebnis gekommen:
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{10-2*3}{3} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3} [/mm] bzw. [mm] \bruch{2}{3}*(5-3)
[/mm]
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{10-2*4/3}{3} [/mm] = [mm] \bruch{22}{9} [/mm] bzw. [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * (5-4/3)
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] \bruch{10-2*22/9}{3} [/mm] = [mm] \bruch{46}{27} [/mm] bzw. [mm] \bruch{2}{3}*(5-22/9) [/mm] usw.
leider kann ich bei diesen ergebnisen kein system erkennen außer vllt. [mm] \bruch{2* irgendwas}{3^{n}} [/mm] aber da komm ich leider nicht weiter.
b) auch hier habe ich daselbe prolem
[mm] a_{2} [/mm] = 1/2 * 84 =42
[mm] a_{3} [/mm] = 1/2 * (84 + 42) = 63
[mm] a_{4} [/mm] = 1/2 * (84 + 42 + 63) = 189/2
[mm] a_{5} [/mm] = 1/2 * (84 + 42 + 63 + 189/2) =567/4
[mm] a_{6} [/mm] = 1/2 * (84 + 42 + 63 + 189/2 + 567/4) = 1701/8
hier habe ich keinerlei ahnung wie ich ansetzen soll.
ich hoffe mir kann irgendjemand helfen. wäre sehr dankbar.
gruß trixi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Di 07.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn der Grezwert existiert gilt [mm] a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n
[/mm]
Daraus ergibt sich die Gleichung [mm] a=\br{2}{3}(5-a)
[/mm]
und daraus a=2
als allgemeinen Ausdruck kann man ableiten
[mm] (-1)^n*a_0*(\br{2}{3})^n+\br{10}{3}\summe_{k=1}^{n-1}(-1)^k(\br{2}{3})^k
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 08.11.2006 | | Autor: | trixi86 |
erst mal danke für eure hilfe. bei der b) bin ich dank euch weitergekommen und konnte sie auch beweisen. aber die a) hab ich noch nicht verstanden
soll der ausdruck
> als allgemeinen Ausdruck kann man ableiten
>
> [mm](-1)^n*a_0*(\br{2}{3})^n+\br{10}{3}\summe_{k=1}^{n-1}(-1)^k(\br{2}{3})^k[/mm]
die explizite darstellung der folge sein??? wenn ja dann komm ich aber nicht auf die selben [mm] a_{1}, [/mm] a_ {2} usw wie mit der anderen darstellung.
außerdem hatten wir in der vorlesung noch keine grenzwerte von folgen. kann man das also auch irgendwie anders machen oder geht das nur so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mi 08.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
bei der Formel ist mir ein Tippfehler unterlaufen. Die Summe läuft von 0 bis n-1 und nicht erst ab 1 bis n-1. Also lautet die Formel
[mm] (-1)^n\cdot{}a_0\cdot{}(\br{2}{3})^n+\br{10}{3}\summe_{k=0}^{n-1}(-1)^k(\br{2}{3})^k. [/mm] Wenn man möchte kann der Ausdruck noch zu
[mm] (-1)^n(\br{2}{3})^n+2 [/mm] vereinfacht werden. (Geometrische Reihe und einsetzten von [mm] a_0=3)
[/mm]
Da im Augenblick der Server wohl ausgefallen ist, schicke ich Antwort mal ohne Kontrolle. Sollten Fehler auftreten, meld Dich nochmal.
mfg ullim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Di 07.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo trixi
Bei b fällt auf, dass es auf [mm] a_0 [/mm] nicht ankommt, wenn [mm] a_0 \alpha [/mm] mal so groß ist dann auch [mm] a_n\alpha [/mm] mal so groß.
Deshalb fang mit [mm] a_0=1 [/mm] an. bis [mm] a_5 [/mm] hast du dann sicher das Bildungsgesetz.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Di 07.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
man kann nachrechnen das git,
[mm] a_2=\br{1}{2}a_1
[/mm]
[mm] a_3=\br{3}{4}a_1
[/mm]
[mm] a_4=\br{9}{8}a_1
[/mm]
[mm] a_5=\br{27}{16}a_1
[/mm]
also liegt die Vermutung nahe, dass
[mm] a_n=\br{3^{n-2}}{2^{n-1}}a_1 [/mm] gilt
muss man dann durch Induktion nachweisen.
mfg ullim
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