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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 18.10.2010 | | Autor: | mathetuV |
hallo alle zusammen ich habe folgende aufgabe zu lösen.
[mm] P_{n} [/mm] = [mm] \produkt_{i=2}^{n} [/mm] (1 - [mm] 1/k^{2})
[/mm]
ich muss dafür eine formel finden und sie beweisen:
ich habe diese formel mir überlegt:
[mm] P_{n}= [/mm] (n+1)/2n ist das richtig?
danke für eure hilfe
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Hallo,
> hallo alle zusammen ich habe folgende aufgabe zu lösen.
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> [mm]P_{n}[/mm] = [mm]\produkt_{i=2}^{n}[/mm] (1 - [mm]1/k^{2})[/mm]
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> ich muss dafür eine formel finden und sie beweisen:
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> ich habe diese formel mir überlegt:
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> [mm]P_{n}=[/mm] (n+1)/2n ist das richtig?
Jo, sieht gut aus, beweise deine Vermutung per vollst. Induktion nach n ...
>
> danke für eure hilfe
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mo 18.10.2010 | | Autor: | mathetuV |
(IA) n= 2 ......
(IS)n->n+1
[mm] \produkt_{i=2}^{n+1} (1-1/k_{2}) [/mm] = (1+(n+1))/(2(n+1))
[mm] \produkt_{i=2}^{n} (1-1/k_{2}) [/mm] * [mm] (1-1/(n+1)^{2})=.... [/mm] ist das richtig?
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Halle mathetuV,
ist was richtig? Da ist ja noch nicht viel passiert, außer dass Du schlampig mit den Variablennamen umgehst und das Quadrat zum Index umfunktionierst:
> (IA) n= 2 ......
Ja, das ist der erste Schritt. Deine Formel soll ab n=2 gelten. Tut sie's?
> (IS)n->n+1
> [mm]\produkt_{i=2}^{n+1} (1-1/k_{2})[/mm] = (1+(n+1))/(2(n+1))
Brüche gehen hier so: \bruch{1+(n+1)}{2(n+1)} ergibt [mm] \bruch{1+(n+1)}{2(n+1)}
[/mm]
Das das Quadrat keins mehr ist, schrieb ich schon.
> [mm]\produkt_{i=2}^{n} (1-1/k_{2})[/mm] * [mm](1-1/(n+1)^{2})=....[/mm] ist
> das richtig?
Ja, sonst schon. Nur rechnen müsstest Du schon noch.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 18.10.2010 | | Autor: | mathetuV |
irgendwie klappts bei mir nicht, ich rechne die ganze zeit rum
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Hallo nochmal,
der Induktionsanfang passt, oder? Davon gehe ich mal aus.
Nun der Induktionsschritt [mm]n\to n+1[/mm]:
Sei [mm]n\in\IN, n>2[/mm] beliebig aber fest und gelte [mm]\prod\limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{n+1}{2n}[/mm]
Dann ist zu zeigen, dass die Beh. gefälligst auch für [mm]\red{n+1}[/mm] gilt, dass also [mm]\prod\limits_{k=2}^{\red{n+1}}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{\red{(n+1)}+1}{2\red{(n+1)}}=\frac{n+2}{2(n+1)}[/mm] gilt
Dazu nimm die linke Seite her und forme mithilfe der Induktionsvoraussetzung um:
[mm] $\prod\limits_{k=2}^{n+1}\left(1-\frac{1}{k^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \prod\limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^2}\right) \ \right] [/mm] \ [mm] \cdot{}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)$
[/mm]
Nun wende auf das linke Produkt die Induktionsvoraussetzung an, der Rest ist einfache Bruchrechnung.
Zeige mal, wie du zuende rechnest ..
Gruß
schachuzipus
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