rekursives Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Skydiver |
Hallo.
Hab mal wieder ein recht kniffliges Problem bei dem ich nicht weiter komme:
In = [mm] \int_{0}^{\infty}x^{2n+1} \* e^{-x^2}\, [/mm] dx
Ich habe ja eigentlich gedacht, dass [mm] e^{-x^2} [/mm] ein nicht elementares Integral ist, aber offensichtlich muss es in diesem Zusammenhang irgendwie lösbar sein.
Ich hoffe jemand von euch weiß wie.
mfg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Sa 05.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich nehme mal an, dass $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] vorrausgesetzt ist. dann kann man das integral mal grundsätzlich dadurch vereinfachen, dass man $y = [mm] x^2$ [/mm] setzt und somit [mm] $\textrm{d}x [/mm] = [mm] \frac{1}{2x} \, \textrm{d}y$. [/mm] also geht das integral über in
[m] I_n = \int_0^\infty x^{2n + 1} \textrm{e}^{-x^2} \, \textrm{d}x = \int_0^\infty \left(x^2 \right)^n \textrm{e}^{-x^2} x \, \textrm{d}x = \frac{1}{2} \int_0^\infty y^n \textrm{e}^{-y} \, \textrm{d}y [/m]
und somit [m] I_n = \frac{1}{2} \Gamma(n+1) [/m] - falls dir die gamma-funktion etwas sagt. wenn nicht kann mittels vollständiger induktion auch einen geschlossenen ausdruck mit fakultät beweisen. probiere das doch mal.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Sa 05.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
noch ein kleine anmerkung: nur weil man für das integral [mm] $\int \textrm{e}^{-x2} \, \textrm{d}x$ [/mm] keine geschlossene darstellung der stammfunktion mit elementaren funktionen angeben kann, heißt das nicht, dass man das bestimmte integral über diese funktion nicht berechnen kann. z.b. kann man recht einfach zeigen, dass
[m] \int_0^\infty \textrm{e}^{-x^2} \, \textrm{d}x = \frac{\sqrt{ \pi}}{2} [/m].
aber das hilft dir ja bei diesem problem nicht wirklich weiter.
grüße
andreas
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