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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Di 26.10.2010 | | Autor: | wee |
Hallo,
bei einem Beweis in einen Buch zu einer Eigenschaft der relativen Entropie wurde folgende Gleichung benutzt:
[mm] \ln(\rho\otimes\sigma)=\ln(\rho)\otimes{\bf{1}}+{\bf{1}}\otimes\ln(\sigma)
[/mm]
Dabei sind [mm] \rho [/mm] und [mm] \sigma [/mm] zwei Dichteoperatoren ( [mm] tr\rho=1, \rho\geq [/mm] 0) und [mm] {\bf{1}} [/mm] ist der Einheitsoperator auf den jeweiligen Teilraum.
Leider ist die Gleichung vollkommen unerklärt und mit meinen Wissen über Tensorprodukte kann ich mir die Gleichugn auch nicht herleiten. Z.B. ist mir garnicht klar, wie der Logarithmus auf einen Tensorprodukt wirkt und warum in der Gleichung die Einheitsoperaotren auftauchen.
Vielleicht kennt sich hier ja jemand ein bisschen mit Quantenmechanik aus und kann mir die Gleichung erklären. DAfür wäre ich sehr dankbar!
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Hallo wee,
ich dachte besser spät als nie.
Hier sind ein paar Hinweise:
Es gilt
[mm] $\rho\otimes\sigma [/mm] = [mm] (\rho\otimes{\bf{1}})(\bf{1}\otimes \sigma)$
[/mm]
Die beiden Operatoren kommutieren!
Den Logarithmus als Potenzreihe interpretieren.
oder:
Obige Gleichung als Matrixgleichung schreiben.
Dann Einschieben von Einsen (gemeinsame Eigenwertbasis).
Hilft das weiter?
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Fr 29.10.2010 | | Autor: | wee |
Vielen Dank mathfunnel,
die Antwort gibt mir schonmal die Richtung vor.
Also die Zerlegung [mm] \rho\otimes\sigma=\rho\otimes {\bf{1}}+ {\bf{1}}\otimes\sigma [/mm] ist klar, dass das Produkt kommutiert auch.
Für kommutative Elemente weiß man, dass die Funktionalgleichung der e-Fkt. gilt, die sich dann auf den Logarithmus überträgt.
Dabei nutzt man, dass [mm] \rho [/mm] und [mm] \sigma [/mm] als Dichteoperatoren positives Spektrum haben und der Logarithmus hier auch tatsächlich definiert ist.
Demnach müsste also [mm] \ln(\rho\otimes\sigma)=ln(\rho\otimes {\bf{1}})+\ln( {\bf{1}}\otimes\sigma) [/mm] gelten.
Jetzt muss ich also nur noch zeigen, dass [mm] \ln(\rho\otimes {\bf{1}})=\ln(\rho)\otimes {\bf{1}} [/mm] gilt.
[mm] \ln [/mm] ist analytisch, also in einer Potenzreihe entwickelbar:
[mm] \ln(\rho\otimes{\bf{1}}=\sum_k a_k (\rho\otimes{\bf{1}})^k [/mm] = [mm] \sum_k a_k (\rho^k\otimes{\bf{1}}^k= \sum_k a_k (\rho^k\otimes {\bf{1}}).
[/mm]
Nun gilt für das Tensorprodukt die Rechenregel [mm] v_1\otimes [/mm] w+ [mm] v_2\otimes [/mm] w= [mm] (v_1+v_2)\otimes [/mm] w, also oben eingesetzt
[mm] ...=(\sum_k a_k \rho^k)\otimes{\bf{1}} =\ln(\rho)\otimes{\bf{1}}.
[/mm]
Für [mm] \ln({\bf{1}}\otimes\sigma) [/mm] gilt gleiches und ich bin fertig.
Vielleicht kannst du mathfunnel, oder jemand anderes kurz Prüfen, ob meine Lösung richtig ist.
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Hallo wee,
> Also die Zerlegung $ [mm] \rho\otimes\sigma=\rho\otimes {\bf{1}}+ {\bf{1}}\otimes\sigma [/mm] $ ist klar, dass das Produkt kommutiert auch.
ich hoffe doch, dass es sich hierbei um einen unglücklichen Schreibfehler handelt. Es gilt natürlich [mm] $\rho\otimes\sigma [/mm] = [mm] (\rho\otimes \bf{1})\cdot (\bf{1}\otimes\sigma)$, [/mm] was Du unten auch selbst verwendest.
Der Rest ist vom Prinzip her ungefähr ok, aber hier ist eine etwas genauere Argumentation:
Man benötigt die Tensoralgebra-Formeln
[mm] $((ax_1+bx_2)\otimes [/mm] y) = [mm] a(x_1\otimes [/mm] y) + [mm] b(x_2\otimes [/mm] y)$
und [mm] $(x_1\otimes y_1)(x_2\otimes y_2) [/mm] = [mm] (x_1x_2\otimes y_1y_2)$
[/mm]
Daraus erhält man durch Grenzwertbildung (Operatornorm [mm] ($\|\cdot\|$))
[/mm]
[mm] $\ln(\bf{1}\otimes \bf{1}+\alpha\otimes \bf{1}) [/mm] = [mm] \sum\limits_i\frac{(-1)^{n+1}}{n}(\alpha^n\otimes \bf{1}) [/mm] = [mm] \ln(\bf{1}+\alpha)\otimes \bf{1}$, [/mm] für [mm] $\|\alpha\| [/mm] < 1$
Jetzt sezten wir [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \rho [/mm] - [mm] \bf{1}$ [/mm] bzw. [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \sigma [/mm] - [mm] \bf{1}$ ($\|\rho [/mm] - [mm] \bf{1}\|, \|\sigma [/mm] - [mm] \bf{1}\| [/mm] < 1$)
und insgesamt:
[mm] $\ln(\rho\otimes\sigma)=\ln(\rho)\otimes{\bf{1}}+{\bf{1}}\otimes\ln(\sigma)$
[/mm]
LG mathfunnel
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