relativer Extrempunkt < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Mo 08.05.2006 | | Autor: | rene_f |
Hallo,
habe hier eine Fkt
[mm]f(x)= e^{ax}-a^2x [/mm]
von der ich die Koordinaten des relativen Extrempunktes und die Art des Extrempunktes bestimmen soll.
Dazu habe ich die ersten beiden Ableitungen gebildet:
[mm]f'(x)=a\cdot\ e^{ax}-a^2[/mm]
[mm]f''(x)=a^2\cdot\ e^{ax}[/mm]
Danach habe ich die Gleichung
[mm]0=a\cdot\ e^{ax}-a^2[/mm]
umgestellt und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
[mm]\bruch{\ln a}{a}=x[/mm]
Ist das Ergebnis richtig ? Und wie kann ich damit in der 2.Ableitung den Nachweis führen das es ein Extremwert ist
Mfg Rene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo Rene!
Deine Ergebnisse sind völlig richtig!
Entscheidend ist nun noch die Art des Extrempunktes: Hoch- oder Tiefpunkt?
Wie du sicher weißt: Hat die Fkt. an dem Punkt Punkt eine positive Krümmung (mathematisch f ' ' (x) > 0) handelt es sich um einen Tiefpunkt, hat die Fkt. an dem Punkt eine negative Krümmung (mathematisch: f ' ' (x) < 0) handelt es sich um einen Hochpunkt.
Du weißt ja, dass f ' ' (x) = [mm] a²e^{ax} [/mm] ist.
Und diese Funktion ist immer größer Null. Warum das?
Nun, egal was du für a einsetzt, a² ist immer größer 0 und für jedes a und jedes x ist [mm] e^{ax} [/mm] größer Null! (Motivation: Überlege dir kurz die Schaubilder von [mm] e^{x} [/mm] und [mm] e^{-x}).
[/mm]
Daraus kannst du folgern: Da für alle a gilt: f ' ' (x) > 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt!
Dann wünsch ich dir noch viel Spaß beim Rechnen!
Vlg, Kübi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:03 Di 09.05.2006 | | Autor: | rene_f |
Hallo,
Danke für die schnelle Antwort, hat mir schon weiter geholfen.
MfG Rene
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