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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mi 21.12.2011 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | heyy! ich will zeigen, dass diese funktion [mm] f:\IR^+ \to \IR^+, f(x)=e^{\lambda \cdot log x} [/mm] mit [mm] \lambda>0 [/mm] umkehrbar ist. Ich wollte fragen ob jemand lust hat zu überprüfen, ob ich alles richtig gemacht hab. |
seien [mm] x,x'\in \IR [/mm] mit x<x'
[mm] e^{\lambda \cdot log x}-e^{\lambda \cdot log x'} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(\lambda \cdot log x)^i}{i!}-\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(\lambda \cdot log x')^i}{i!}
[/mm]
da [mm] \summe_{i}^{\infty}... [/mm] nicht umbedingt konvergent, mach ich so weiter:
[mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{(\lambda \cdot log x)^i}{i!}-\summe_{i=0}^{n}\bruch{(\lambda \cdot log x')^i}{i!} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{(\lambda \cdot log x)^i-(\lambda \cdot log x')^i}{i!} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{\lambda^i \cdot (log x)^i-\lambda^i \cdot (log x')^i}{i!} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{\lambda^i ((log x)^i- (log x')^i)}{i!}
[/mm]
es gilt: logx ist streng monoton steigend [mm] \Rightarrow (logx)^i-(logx')^i<0
[/mm]
[mm] \Rightarrow e^{\lambda \cdot log x} [/mm] monoton steigend
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Hallo saendra,
> heyy! ich will zeigen, dass diese funktion [mm]f:\IR^+ \to \IR^+, f(x)=e^{\lambda \cdot log x}[/mm]
> mit [mm]\lambda>0[/mm] umkehrbar ist. Ich wollte fragen ob jemand
> lust hat zu überprüfen, ob ich alles richtig gemacht hab.
> seien [mm]x,x'\in \IR[/mm] mit x<x'
>
> [mm]e^{\lambda \cdot log x}-e^{\lambda \cdot log x'}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(\lambda \cdot log x)^i}{i!}-\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(\lambda \cdot log x')^i}{i!}[/mm]
>
> da [mm]\summe_{i}^{\infty}...[/mm] nicht umbedingt konvergent,
Es ist sehr wohl bekannt, dass die Exponentialreihe absolut konvergiert.
> mach ich so weiter:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{(\lambda \cdot log x)^i}{i!}-\summe_{i=0}^{n}\bruch{(\lambda \cdot log x')^i}{i!}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{(\lambda \cdot log x)^i-(\lambda \cdot log x')^i}{i!}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{\lambda^i \cdot (log x)^i-\lambda^i \cdot (log x')^i}{i!}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{\lambda^i ((log x)^i- (log x')^i)}{i!}[/mm]
>
> es gilt: logx ist streng monoton steigend [mm]\Rightarrow (logx)^i-(logx')^i<0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow e^{\lambda \cdot log x}[/mm] monoton steigend
Du brauchst, dass [mm] e^{\lambda \log x} [/mm] streng monoton steigend ist (das folgt auch).
Tipp, wie es einfacher geht:
Eine differenzierbare Funktion f ist genau dann streng monoton, wenn für ihre Ableitung f'>0 gilt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mi 21.12.2011 | | Autor: | saendra |
dank Kamaleonti
differenzieren hatten wir noch nicht, dehalb glaub ich nicht dass ich das machen darf.
das versteh ich nicht so ganz, wann darf ich summen auseinander ziehen bzw. zusammen schreiben, wenn die summe(n) konvergieren und absolut konvergieren? und was ist wenn sie divergieren?
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> dank Kamaleonti
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> differenzieren hatten wir noch nicht, dehalb glaub ich
> nicht dass ich das machen darf.
Ok.
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> das versteh ich nicht so ganz, wann darf ich summen
> auseinander ziehen bzw. zusammen schreiben, wenn die
> summe(n) konvergieren und absolut konvergieren?
Habt ihr denn gezeigt, dass die Exponentialreihe absolut konvergiert?
> und was ist wenn sie divergieren?
Das tun sie nicht!
Auch Summe bzw. Differenz von zwei absolut konvergenten Reihen ist wieder absolut konvergent: Du hattest die Exponentialreihe im Entwicklungspunkt [mm] \log [/mm] x und [mm] \log [/mm] x' aufgeschrieben.
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:20 Mi 21.12.2011 | | Autor: | saendra |
tut mir leid, so hab ich das gar nicht gemeint, ich meinte das allgemein.
also z.B. für diese reihe gilt: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{k^2-k}{k^3+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{k^2}{k^3+1} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{k}{k^3+1}
[/mm]
weil diese reihe bestimmt konvergiert, also [mm] =\infty [/mm] , oder?
und für diese gilt: $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{k^2-k}{k^{10}+1} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{k^2}{k^{10}+1} [/mm] $ - $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{k}{k^{10}+1} [/mm] $
weil sie konvergiert, oder?
aber was gibt es dann überhaupt für eine summe, die ich nicht trennen, bzw. zusammen fügen darf? :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Do 22.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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