risikoneutrales Maß < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Im einperiodigen Binomialmodell über dem Wahrscheinlichkeitsraum
[mm] (\Omega,\mathcal{F},P)=(\{H,T\},\mathcal{P}(\Omega),P[\{H\}]=P[\{T\}]=\bruch{1}{2})
[/mm]
sei die Wertentwicklung der Aktie durch [mm] S_{0}=100,S_{1}(H)=120 [/mm] sowie [mm] S_{1}(T)=90 [/mm] beschrieben.
Für welche Zinsraten r des Sparbuchs ist das Finanzmarktmodell arbitragefrei?
Bestimmen Sie für diese Zinsraten das zugehörige risikoneutrale Maß [mm] P^{\*} [/mm] durch Berechnung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten
[mm] p^{\*}:=P^{\*}[\{H\}] [/mm] und [mm] q^{\*}:=P^{\*}[\{T\}]. [/mm] |
Hallo,
habe hierzu bis jetzt geschrieben:
Es gilt: arbitragefrei [mm] \gdw [/mm] 0 < d < 1+r < u,
wobei [mm] d=\bruch{S_{1}(T)}{S_{0}}, u=\bruch{S_{1}(H)}{S_{0}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 < 0,9 < 1+r < 1,2
[mm] \Rightarrow [/mm] -0,1 < r < 0,2
[mm] p^{\*}=\bruch{1+r-d}{u-d}=\bruch{r-0,1}{0,3}
[/mm]
[mm] q^{\*}=\bruch{u-(1+r)}{u-d}=\bruch{0,2-r}{0,3}
[/mm]
Ist das bis hierhin erstmal richtig? Und was besagen mir denn jetzt eigentlich diese risikoneutralen Maße? Würde mich über Antworten freuen 
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> Im einperiodigen Binomialmodell über dem
> Wahrscheinlichkeitsraum
> [mm](\Omega,\mathcal{F},P)=(\{H,T\},\mathcal{P}(\Omega),P[\{H\}]=P[\{T\}]=\bruch{1}{2})[/mm]
> sei die Wertentwicklung der Aktie durch
> [mm]S_{0}=100,S_{1}(H)=120[/mm] sowie [mm]S_{1}(T)=90[/mm] beschrieben.
>
> Für welche Zinsraten r des Sparbuchs ist das
> Finanzmarktmodell arbitragefrei?
> Bestimmen Sie für diese Zinsraten das zugehörige
> risikoneutrale Maß [mm]P^{\*}[/mm] durch Berechnung der
> risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten
> [mm]p^{\*}:=P^{\*}[\{H\}][/mm] und [mm]q^{\*}:=P^{\*}[\{T\}].[/mm]
> Hallo,
> habe hierzu bis jetzt geschrieben:
>
> Es gilt: arbitragefrei [mm]\gdw[/mm] 0 < d < 1+r < u,
> wobei [mm]d=\bruch{S_{1}(T)}{S_{0}}, u=\bruch{S_{1}(H)}{S_{0}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 < 0,9 < 1+r < 1,2
> [mm]\Rightarrow[/mm] -0,1 < r < 0,2
Das stimmt.
>
> [mm]p^{\*}=\bruch{1+r-d}{u-d}=\bruch{r-0,1}{0,3}[/mm]
> [mm]q^{\*}=\bruch{u-(1+r)}{u-d}=\bruch{0,2-r}{0,3}[/mm]
>
> Ist das bis hierhin erstmal richtig? Und was besagen mir
> denn jetzt eigentlich diese risikoneutralen Maße? Würde
> mich über Antworten freuen
>
>
Bevor wir uns dran machen sollten risikoneutrale Maße auszurechnen ( um beispielsweise die Vollständigkeit eines Marktes nachzuweisen oder die 'no-arbitrage-Bedingung') sollten wir mal genau wissen was das ist.
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß [mm] \mathbb{P} [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] heißt risikoneutrales Maß oder auch Martingalmaß falls:
1) [mm] \mathbb{P}(\omega) [/mm] > 0 [mm] \forall \omega \in \Omega
[/mm]
2) Martingaleigenschaft - ich schreibs für dich jz mal beispielhaft hin - es soll also : [mm] \mathbb{E}_{\mathbb{P}}(S_{1}) [/mm] = [mm] S_{0} [/mm]
Bemerkung: Es existiert keine Arbitragemöglichkeit dann und nur dann, wenn ein risikoneutrales Maß existiert.
Gruß Thomas
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Ok, aber mir wäre jetzt gar nicht klar, wie hier [mm] E_{\IP}(S_{1})=S_{0} [/mm] mit dem Zinssatz r und den [mm] p^{\*},q^{\*} [/mm] aufgedröselt werden könnte...
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> Ok, aber mir wäre jetzt gar nicht klar, wie hier
> [mm]E_{\IP}(S_{1})=S_{0}[/mm] mit dem Zinssatz r und den
> [mm]p^{\*},q^{\*}[/mm] aufgedröselt werden könnte...
Was meinst du damit?
Lies meine letzte Antwort nochmals genau und bestimme dann zwei Gleichungen - die erste lautet:
1) Da wir ja ein Wahrscheinlichkeitsmaß suchen muss wohl
I : [mm] p_{1}^{\*} [/mm] + [mm] p_{2}^{\*} [/mm] = 1
gelten.
Für die zweite Gleichung nutze nun die Martingaleigenschaft.
Ps: statt p,q - habe ich [mm] p_{1},p_{2} [/mm] gewählt.
Gruß Thomas
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