rückwärts integrieren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebes Mitglied,
habe kürzlich gehört, daß man auch rückwärts integrieren kann. Was bedeutet dies und welche Vorteile hat das gegenüber der normalen Integration. Vielleicht kannst Du mir auch ein gutes Buch oder einen Link dazu empfehlen.
Danke
superlieb444
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Hi, Superlieb,
naja: Der Ausdruck "rückwärts integrieren" stammt wohl von mir und deutet eigentlich nur an: Man muss nicht immer gleich "integrieren" nur weil ein Integral gesucht ist! Manchmal bringt es mehr, sich vorher zu überlegen, von welchem Typ die Stammfunktion ist und dann diese sozusagen "halb bekannte" Stammfunktion abzuleiten und mit der Integrandenfunktion zu "vergleichen": KOEFFIZIENTENVERGLEICH.
Diese Methode verwendet man vor allem dann, wenn man nicht alle Integrationsmethoden kennt (wobei ja vor allem die Substitution manchmal ganz schön happig sein kann!).
Beispiel:
[mm] \integral{(x^{2}+x-4)*e^{0,5x}dx} [/mm] =?
Eine einfache Überlegung sagt einem, dass die Stammfunktion "vom selben Typ" ist wie die zu integrierende Funktion, also: [mm] Quadratfunktion*e^{0,5x}.
[/mm]
Daher mein Ansatz:
[mm] F(x)=(ax^{2}+bx+c)*e^{0,5x}
[/mm]
Ableitung (mit Produktregel!!):
[mm] F'(x)=0,5*(ax^{2}+bx+c)*e^{0,5x} [/mm] + [mm] (2ax+b)*e^{0,5x}
[/mm]
= [mm] (0,5ax^{2} [/mm] + (0,5b+2a)x [mm] +(0,5c+b))*e^{0,5x}
[/mm]
Nach dem HdI (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) muss diese Ableitung mit der Funktion f identisch sein:
F'(x) = f(x).
"Gleichsetzen" allein bringt aber nichts! Man muss sich klarmachen, dass alle 3 Koeffizienten (der bei [mm] x^{2}, [/mm] der bei x und auch die Konstante ohne x) gleich sein müssen:
(1) 0,5a = 1
(2) 0,5b+2a = 1
(3) 0,5c +b = -4
Aus (1) folgt schon mal a=2.
Dann aus (2) dann b=-6 und aus (3) c=4
Heißt: [mm] \integral{(x^{2}+x-4)*e^{0,5x}dx} [/mm] = [mm] (2x^{2}-6x+4)*e^{0,5x} [/mm] + c
mfG!
Zwerglein
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