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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:03 Do 14.12.2006 | | Autor: | AriR |
hey leute,
die russellsche antiomie ist ja das problem, ob M ein element von M ist, wenn M die menge alle mengen ist, die sich nicht selbst enthält.
ich versuche mir gerade vorzustellen, wie diese Menge M aussieht und scheitere schon am versuch mir eine menge vorzustellen, die sich selbst enthählt. geht sowas überhaupt? trifft das nicht auf jede menge zu, dass sie sich nicht selbst enthält?
bei der Menge M selbst, ist es scheinbar nicht begründbar, dass sie sich nicht selbst enthählt, aber andersrum ist sowas doch rein intuitiv gar nicht möglich oder?
aber abgesehen von der Menge M selbst, ist doch sonst jede menge sicher in M drin oder?
wäre nett, wenn mir da jemand von euch weiterhelfen könnte
Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Fr 15.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo AriR
Die "Leute" haben auch gemerkt, dass Mengen, die sich selbst enthalten "pathologisch" sind, und es eigentlich solche Mengen nicht geben sollte. Nimmt man das Funkdierungsaxiom hinzu, so gibt es keine Mengen mehr, die sich selber enthalten.
Aber trotzdem gibt es immer noch Probleme mit Mengen, weil sie einfach zu gross sind.
Z.B. exisitiert die "Allmenge" nicht, den die "Allmenge=Menge aller Menge" (würde unter anderem auch sich selber enthalten) ist einfach zu gross.
Daher spricht man dann von Klassen statt von Mengen: Die Allklasse=Klasse aller Mengen ist eine echte Klasse. Die Klasse aller Gruppen ist eine echte Klasse und keine Menge etc. Klassen sind alles, was man durch eine mengetheoretische Formel definieren kann.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Fr 15.12.2006 | | Autor: | AriR |
hey moudi, danke für deine antwort,
ich denke so grob habe ich es verstanden, was ich jedoch so nicht sehe ist, warum die die klasse aller gruppen echt ist.
das würde ja heißen, dass die menge aller gruppen undefiniert ist oder?
warum gibts denn nicht die menge aller gruppen oder besser gesagt an welcher stelle tritt bei der definition der menge aller gruppen ein widerspruch auf?
wäre nett, wenn du mir hier nochtmal weiterhelfen könntest.
Gruß Ari :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 So 17.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo AriR
Jede Klasse, die Objekte beliebig grosser Kardinalität enthält ist eine echte Klasse und keine Menge.
Denn wäre eine solche Klasse eine echte Menge, dann könnte man die Vereinigungsmenge aller ihrer Objekte definieren. Diese Vereinigungsmenge hat aber eine wohldefinierte Kardinalität [mm] $\kappa$ [/mm] und die Kardinalitäten der Objekte, wäre durch [mm] $\kappa$ [/mm] beschränkt.
M.a.W. ist M eine Menge, so definiere ich [mm] $N=\bigcup [/mm] M$. Gilt [mm] $|N|=\kappa$, [/mm] so gilt für jedes [mm] $x\in [/mm] M : [mm] |x|\leq\kappa$, [/mm] da [mm] $x\subset [/mm] N$.
mfG Moudi.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 So 17.12.2006 | | Autor: | AriR |
leider verstehe nich das nicht so ganz :(
was ist mit wohldefinierter kardinalität gemeint? ist die Kardinalität N nicht gerade die kardinalität aller M aufsummiert?
gruß ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mo 18.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo AriR
Man sagt, dass zwei Mengen A und B gleichmächtig sind, wenn es eine bijektive Abbildung von A auf B gibt.
Kardinalzahlen sind spezielle Mengen mit folgenden Eigenschaften:
i) Sind [mm] $\kappa$ [/mm] und [mm] $\lambda$ [/mm] verschiedene Kardinalzahlen, so gibt es keine bijektive Abbildung von [mm] $\kappa$ [/mm] auf [mm] $\lambda$.
[/mm]
ii) Für je zwei Kardinalzahlen [mm] $\kappa$ [/mm] und [mm] $\lambda$ [/mm] gilt: [mm] $\kappa\subset\lambda$ [/mm] oder [mm] $\lambda\subset\kappa$.
[/mm]
iii) Zu jeder Menge A gibt es eine Kardinalzahl [mm] $\kappa$ [/mm] so, dass sich A bijektiv auf [mm] $\kappa$ [/mm] abbilden lässt.
In diesem Sinne ist die Klasse der Kardinalzahlen ein Repräsentantesystem für die Kardinalität einer Menge.
Ist M eine Menge und [mm] $N=\bigcup [/mm] M$, so gibt es eine Kardinalzahl [mm] $\kappa$ [/mm] so, dass sich N bijektiv auf [mm] $\kappa$ [/mm] abbilden lässt. Jedes Element x von M ist eine Teilmenge von N und somit hat "intuivtiv" x eher weniger Elemente als N, d.h. lässt sich x bijektiv auf die Kardinalzahl [mm] $\lambda$ [/mm] abbilden, so gilt [mm] $\lambda\subset\kappa$. [/mm] Enthält M aber Objekte beliebig grosser Kardinaltät, so wäre dies ein Widerspruch zum eben gesagten. In diesem Fall wäre M eine echte Klasse.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Fr 22.12.2006 | | Autor: | AriR |
hey moudi,
tut mir leid, dass ich jetzt erst wieder antworte, hatte vorher leider keine zeit :(
also so wie ich es verstanden habe, tritt das problem echter klassen eigentlich nur bei mengen von mengen auf oder?
und dann auch nur, wenn man mengen von unendlichen menge betrachtet, stimmt das?
Angenommen wir haben eine Menge N von unendlichen Mengen [mm] M_i, i\in\IN [/mm] oder glaub sogar [mm] i=\infty
[/mm]
dann gibts eine kardinazahl [mm] \lambda [/mm] auf die sich N bijetktiv abbilden lässt, also N hat sozusagen soviele elmente wie [mm] \lambda.
[/mm]
nimmt man sich jetzt ein [mm] M\in [/mm] N dann gibts es zu M eine kardinalzahl [mm] \delta.
[/mm]
demnach müsste intuitiv gelten [mm] \delta\subset\lambda.
[/mm]
was man wiederum auch als [mm] "\infty\subset\infty" [/mm] schreiben könnte, was jedoch nicht definiert ist und somit ist N eine echte klasse.
ist das alles so richtig?
wäre nett, wenn du mir hier nochmal helfen könntest.
Gruß Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Fr 22.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Ari
In der Mengelehre sind alle Mengen Mengen von Mengen :).
Es gibt auch unter unendlichen Mengen eine Hierarchie. Auch bei Ihnen kann man festlegen ob eine Menge M weniger, gleichviel oder mehr Elemente enthält als eine Menge N. Man sagt, dass sie gleichviele Elemente enthalten, wenn es eine bijektive Abbildung von M auf N gibt. M entält weniger Elemente als N, wenn es eine inketive, aber keine surjektive Abbildung von M auf N gibt, und M entält mehr Elemente als N, wenn es eine surjektive, aber keine injektive Abbildung von M auf N gibt.
Eine Kardinalzahl ist ein "Prototyp" einer solchen unendlichen Menge. Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen "reflektiert" dieses Mengenhierarchie der unendlichen Mengen.
z.B. Die Menge der natürlichen Zahlen, enthält weniger Elemente als die Menge der reellen Zahlen. Die natürlichen Zahlen besitzen die Kardinalität [mm] $\aleph_0$, [/mm] während man die Kardinalität der reellen Zahlen nicht definitiv angeben kann (sog. Kontinuumsproblem).
Ist I eine Indexmenge und sind [mm] $\kappa_i:i\in [/mm] I$ Kardinalzahlen, so ist [mm] $\bigcup\limits_i\kappa_i$ [/mm] eine Kardinalzahl, es ist die kleinste Kardinalzahl, die grösser oder gleich allen [mm] $\kappa_i$. [/mm] M.a.W. [mm] $\lambda=\bigcup\limits_i\kappa_i$, [/mm] dann gilt [mm] $\kappa_i\leq\lambda$.
[/mm]
Sind [mm] $\kappa_i:i\in [/mm] I$ Kardinalzahlen von beliebiger Grösse, dann kann I keine Menge sein.
beliebiger Grösse heisst: zu jeder Kardinalzahl [mm] $\kappa$ [/mm] gibt es ein [mm] $\kappa_i>\kappa$.
[/mm]
Der Widerspruch ergibt sich daraus, wäre I eine Menge, dann kann man die Vereinigungsmenge [mm] $\lambda=\bigcup_i\kappa_i$ [/mm] bilden. Einerseits müsste es ein [mm] $\kappa_i$ [/mm] geben, sodass [mm] $\kappa_i>\lambda$ [/mm] ist, andererseits müsste auch [mm] $\kappa_i\leq\lambda$ [/mm] gelten ein Widerspruch, weil [mm] $\kappa_i$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $\lambda$ [/mm] ist.
Deshalb sind Klassen, die Mengen beliebig grosser Kardinalitäten enthalten keine Mengen und somit echte Klassen.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Sa 23.12.2006 | | Autor: | AriR |
hey moudi
super artikel danke. ich habs jetzt glaub ich verstanden.
was jedoch nicht ist, warum die klasse aller gruppe echt ist.
Gruppen sind doch einfach 3er-Tupel folgender form [mm] (M,\times,e) [/mm] wobei M eine Menge ist, [mm] \times [/mm] eine Verknüpfung und e das neutrale Element, wenn ich mich nicht irre.
wenn ich jetzt die [mm] N:=\bigcup_{i\in\IN}G_i [/mm] betrachte, wobei [mm] G_i [/mm] eine Gruppe sein soll für alle [mm] i\in\IN
[/mm]
dann hat doch jedes [mm] G_i [/mm] die Kardinalität 1, ist also bijektiv zu einer 1-elementigen Menge.
dann gilt immer noch [mm] N\le G_i [/mm] aber man hat doch kein [mm] G_i>N
[/mm]
für alle [mm] i\in\IN [/mm] oder, da jedes [mm] G_i=1 [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Sa 23.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> wenn ich jetzt die [mm]N:=\bigcup_{i\in\IN}G_i[/mm] betrachte, wobei
> [mm]G_i[/mm] eine Gruppe sein soll für alle [mm]i\in\IN[/mm]
>
> dann hat doch jedes [mm]G_i[/mm] die Kardinalität 1, ist also
> bijektiv zu einer 1-elementigen Menge.
Meinst du das Ernst? Es gibt Gruppen mit mehr als einem Element! Der Punkt ist: du kannst für jede Kardinalität Gruppen angeben. Bzw.: du kannst zu jeder Menge die frei davon erzeugte Gruppe nehmen, was die Kardinalität im Zweifel erhöht.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Sa 23.12.2006 | | Autor: | AriR |
ja aber die kardinalität der gruppe ist doch nciht gleihc die kardinalität der ihr zugrundeliegenden menge oder? die gruppe an sich ist doch einfach nur so ein 3er-tupel oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Di 26.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Ari
Doch die Kardinalität einer Gruppe ist die Kardinalität der zugrunde liegenden Menge. Eine Gruppe der Kardinalität besitzt als Menge 6 Elemente.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Mi 27.12.2006 | | Autor: | AriR |
aso das wusste ich jetzt nicht tut mir leid. bin einfach immer von diese tupeln ausgegangen. vielen dank dann für die hilfe, die echt sehr aufwendig uns super war.
Gruß Ari :)
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