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Hallo!
Ich muss eine Aufgabe bearbeiten, die ich per schätzen lösen muss. Kann sie lösen wenn ich 2 < (1 + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] < 3 zeige. Habe (1 + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] < 3 schon gezeigt. Komme nur beim ersten Teil nicht weiter.
Bei mir steht:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{k!*(n-k)}* \bruch{1}{n^{k}}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}*\bruch{(n-k+1)*...*(n-1)n}{n*...*n} [/mm]
oben und unten stehen für den letzen Teil k Faktoren
somit ist das [mm] \le\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}
[/mm]
Konnte jetzt für < abschätzen, so dass <3 rauskommt.
Was mache ich um >2 rauszubekommen?
Viele Grüße
Cosmotopianerin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Mi 17.11.2004 | | Autor: | PhiBa |
Hallo,
ich weiss im Moment nicht so recht, was du willst. Wie sollst du denn
2 < 1 + 1/n
abschätzen? Das stimmt doch für kein n aus den natürlichen Zahlen (was ich jetzt einfach mal annehme das gemeint ist)
MfG Philipp
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Mi 17.11.2004 | | Autor: | baskolii |
schätze mal du meinst:
[mm] 2<(1+\frac{1}{n})^n<3
[/mm]
aber dann ist offensichtlich [mm] 2\le(1+\frac{1}{n})^n
[/mm]
das kann man leicht zeigen:
gleichheit gilt für n=1 und [mm] a_n:=(1+\frac{1}{n})^n [/mm] ist monoton steigend
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Ja, das meinte ich. Das ist doch nicht monoton steigend. Wenn das gegen unendlich geht wird das die Eulersche Zahl. Sonst würde das ja auch nicht zwischen 2 und 3 liegen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:18 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marcel |
> Ja, das meinte ich. Das ist doch nicht monoton steigend.
Doch, die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch
[mm] $a_n:=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] ist sehr wohl monoton steigend. Sie ist monoton steigend und nach oben beschränkt, also konvergent.
Beweise dazu:
siehe etwa:
![[]](/images/popup.gif) Analysis-Skript
[mm] $\to$ [/mm] S.40 (skriptinterne Zählung oben rechts), Beispiel 5.13; wobei noch zu zeigen ist, dass
[m](b_n)_{n \in \IN}[/m] definiert durch [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ [/mm] monoton fallen ist. Das geht aber auch wieder durch den Quotienten, also analog zu dem, wie gezeigt wurde, dass die [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] monoton wachsend ist. Bilde also:
[mm] $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ [/mm] und zeige dann, dass dieser Quotient [mm] $\le [/mm] 1$ ist (Zusatzfrage: Warum kann [mm] $b_n=0$ [/mm] für kein $n [mm] \in \IN$ [/mm] auftreten?).
> Wenn das gegen unendlich geht wird das die Eulersche Zahl.
Richtig. Das ist aber kein Widerspruch zur Monotonie der Folge. Es ist hier sogar so:
Eben weil die Folge monoton wachsend und nach oben beschränkt ist, ist sie konvergent!
Viele Grüße,
Marcel
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