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schiefer Wurf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Do 14.04.2011
Autor: Lentio

Aufgabe
Von einem Turm werden zwei Bälle mit gleicher Geschwindigkeit, aber verschiedenen Winkel geworfen. Beide Objekte besitzen den selben Aufprallort. Berechnen Sie die Weite und die Höhe des Turmes.
geg.: [mm] v_0=20 [/mm] m/s, g=10 [mm] m/s^2, \alpha_1=30°, \alpha_2=45°. [/mm]



Skizze: http://img3.fotos-hochladen.net/uploads/abckqiswuxeng.png

Hallo

irgendwie schaffe ich es nicht, die Werte für die Abwurfhöhe und Reichweite zu bestimmen.

Bewegungsgleichungen:

in x-Richtung bewegt sich der Ball mit [mm] x=v_x*t [/mm]
in y-Richtung mit [mm] y=\bruch{-g*t^2}{2}+v_y*t+h [/mm] mit Geschwindigkeit [mm] v_{senkrecht}=-g*t+v_y. [/mm]
Im Aufprallpunkt gilt y=0
-> [mm] 0=\bruch{-g*t^2}{2}+v_y*t+h [/mm]
[mm] \gdw 0=t^2-\bruch{2v_y*t}{g}-\bruch{2h}{g} [/mm]
[mm] t_w=\bruch{v_y}{g}+\wurzel{\bruch{v_y^2}{g^2}+\bruch{2hg}{g^2}} [/mm]
in [mm] x=v_x*t [/mm] eingesetzt:
[mm] x=v_x(\bruch{v_y}{g}+\wurzel{\bruch{v_y^2}{g^2}+\bruch{2hg}{g^2}}). [/mm]
Mit [mm] v_x=cos\alpha*v_0, v_y=sin\alpha*v_0, [/mm] Berechnung zu Winkel [mm] \alpha=30°: [/mm]

[mm] x_1=\wurzel{3}*10(\bruch{10}{10}+\wurzel{1+\bruch{20h}{100}})=\wurzel{3}*10(1+\wurzel{1+\bruch{1h}{5}}). [/mm]


Berechnung zu Winkel [mm] \alpha=45°: [/mm]


[mm] x_2=\wurzel{2}*10(\wurzel{2}+\wurzel{\bruch{200+20h}{100}})=\wurzel{2}*10(\wurzel{2}+\wurzel{2+\bruch{1h}{5}}). [/mm]
Da der Aufprallpunkt zu verschiedenen Winkel gleich ist, gilt [mm] x_1=x_2: [/mm]



[mm] \wurzel{3}*10(1+\wurzel{1+\bruch{1h}{5}})=\wurzel{2}*10(\wurzel{2}+\wurzel{2+\bruch{1h}{5}}). [/mm]

Leider kann ich nicht vernünftig nach h umformen:
[mm] \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}}=\bruch{\wurzel{2}+\wurzel{2+\bruch{1h}{5}}}{1+\wurzel{1+\bruch{1h}{5}}} [/mm] ....???

Über Hilfe wäre ich dankbar.

Mfg,
Lentio

        
Bezug
schiefer Wurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Do 14.04.2011
Autor: leduart

Hallo
du rechnest ungeschickt für das problem.
bestimme t1 und t2 aus x1 und x2
und setz in y  ein. du hast die 2 Gleichungen -h=----
setz die gleich und du findest x=x1=x2. in eine von beiden einsetzen gibt h
gruss leduart


Bezug
                
Bezug
schiefer Wurf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:47 Fr 15.04.2011
Autor: Lentio

Danke, das sieht doch gleich anders aus.

Also t aus [mm] x=v_x*t [/mm] bestimmt und in y=.... eingesetzt, ergibt dann:
[mm] 0=-\bruch{1}{2}*g*\bruch{x^2}{v^2_x}+v_y*\bruch{x}{v_x}+h. [/mm]
mit dem entsprechenden Winkel :

[mm] \alpha_1=30° [/mm]

[mm] x_1=-\bruch{x^2}{60}+\bruch{x}{\wurzel{3}}+h [/mm] und [mm] x_2 [/mm] mit [mm] \alpha_1=45° [/mm]

[mm] x_2=-\bruch{x^2}{40}+x+h. [/mm]

[mm] -\bruch{x^2}{40}+x+h=-\bruch{x^2}{60}+\bruch{x}{\wurzel{3}}+h [/mm]
[mm] \gdw 0=\bruch{2x^2}{240}+x(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1) [/mm]
[mm] \gdw 0=x^2+x120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1) [/mm]
->x= [mm] -\bruch{120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)}{2}\pm\wurzel{\bruch{(120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1))^2}{4}} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] x= [mm] -60(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)\pm\bruch{120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)}{2} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] x= [mm] -60(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)\pm 60(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1) [/mm]
Wenn ich aber den letzten Term addiere kommt 0 raus und subtrahiere ich, eine negative Länge?!

So oft ich aber nachrechne, ich komme auf das selbe Ergebnis.


mfg,
Lentio

Bezug
                        
Bezug
schiefer Wurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Fr 15.04.2011
Autor: fred97


> Danke, das sieht doch gleich anders aus.
>  
> Also t aus [mm]x=v_x*t[/mm] bestimmt und in y=.... eingesetzt,
> ergibt dann:
>  
> [mm]0=-\bruch{1}{2}*g*\bruch{x^2}{v^2_x}+v_y*\bruch{x}{v_x}+h.[/mm]
>  mit dem entsprechenden Winkel :
>  
> [mm]\alpha_1=30°[/mm]
>  
> [mm]x_1=-\bruch{x^2}{60}+\bruch{x}{\wurzel{3}}+h[/mm] und [mm]x_2[/mm] mit
> [mm]\alpha_1=45°[/mm]
>  
> [mm]x_2=-\bruch{x^2}{40}+x+h.[/mm]
>  
> [mm]-\bruch{x^2}{40}+x+h=-\bruch{x^2}{60}+\bruch{x}{\wurzel{3}}+h[/mm]
>  [mm]\gdw 0=\bruch{2x^2}{240}+x(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)[/mm]
>  [mm]\gdw 0=x^2+x120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)[/mm]
>  
> ->x=
> [mm]-\bruch{120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)}{2}\pm\wurzel{\bruch{(120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1))^2}{4}}[/mm]
>  [mm]\gdw[/mm] x=
> [mm]-60(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)\pm\bruch{120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)}{2}[/mm]
>  [mm]\gdw[/mm] x= [mm]-60(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)\pm 60(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)[/mm]
>  
> Wenn ich aber den letzten Term addiere kommt 0 raus und
> subtrahiere ich, eine negative Länge?!
>  
> So oft ich aber nachrechne, ich komme auf das selbe
> Ergebnis.

Tja, was soll man dazu sagen ? Wenn Du subtrahierst, kommst Du sicher auf

             $x= [mm] -120(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1)$, [/mm]

stimmts ? Es gibt in der Mathematik ein längst vergessen Regel, welche besagt:

        "minus x minus = plus".

Die nützt Dir aber nur dann etwas, wenn Du Dir klar machst, dass [mm] $\bruch{1}{\wurzel{3}}-1<0$ [/mm] ist.

Ich verrate Dir noch etwas aus meinem Geheimwissen:

Wenn Du die Gleichung $  [mm] 0=x^2+120*x(\bruch{1}{\wurzel{3}}-1) [/mm] $ lösen willst, gibt es einen wahnsinnsdollen Trick: auf der rechten Seite x ausklammern, dann kannst Du Dir das Geschoß "pq-Formel" sparen.

Bitte behalte die Sachen aus meiner Trickkiste für Dich.

Gruß vom GEHEIMFRED (dem trickreichen).

            

>  
>
> mfg,
>  Lentio


Bezug
                                
Bezug
schiefer Wurf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:28 Fr 15.04.2011
Autor: Lentio

Uiuiuiui! Ob ich dieser Macht wohl  gewachsen bin ;) ?!

Vielen Dank!

mfg,
Lentio.

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