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| Aufgabe | | Zeige, dass die Seitenhalbierenden des Dreicks A(2/1/2) B(4/3/3) C(6/4/2) durch einen Punkt gehen. Bestimme den Punkt. |
Wir haben im Unterricht angefangen Schnittpunkte von Geraden zu bestimmen. Dabei haben wir bis jetzt aber immer eine Geradengleichung bekommen, durch die wir den Schnittpunkt berechnen konnten.
Bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht, wie ich auf die Geradengleichung komme oder welche anderen Wege es noch gibt, um die Schnittpunkte zu berechnen...
Wäre nett, wenn mit jemand weiterhelfen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Mi 21.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Für die Seitenhalbierenden brauchst du ja jeweils die Mittelpunkte der einzelnen Seiten des Dreiecks.
Dann kannst du die Gerade konstruieren, die durch den Mittelpunkt der Seite und den gegenüberliegenden Punkt verläuft. Das sollte dann kein Problem mehr darstellen.
Nun zur Berechnung der Mittlepunkte der Seiten.
Die Seite c mit den Endpunkten A und B hat folgende Gerade:
c: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \lambda \overrightarrow{AB} [/mm] .
Um den Mittelpunkt C' der Geraden zu berechnen, brauchst du nur [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zu setzen.
Auf die gleiche Art berechnest du jetzt A' und B'.
Die Seitenhalbierende durch C und C' hat jetzt folgende Form:
[mm] s_{c}: \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{c'} [/mm] + [mm] \lambda \overrightarrow{CC'} [/mm] .
Genauso berechnest du jetzt [mm] s_{a} [/mm] und [mm] s_{b}. [/mm]
Ich hoffe, das hilft weiter.
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:32 Mi 21.06.2006 | | Autor: | beatbulette |
Irgendwie verstehe ich diese Aufgabe gerade gar nicht mehr...
Ist [mm] \vec{a}= \vektor{x \\ y}212 [/mm] + 3 dann die gleichung der geraden c?
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Hallo beatbulette,
bis jetzt habt ihr aber immer eine Geradengleichung bekommen.
D.h. wir müssen jetzt erst mal ein paar Geradengleichungen basteln.
Lass uns mit der [mm] $S_a$ [/mm] anfangen.
Eigentlich bräuchten wir zwei Punkt; wir haben aber erst mal nur einen:
$ [mm] \vec{A}=\vektor{2\\ 1\\ 2}$
[/mm]
Der andere den wir bekommen können liegt genau
zwischen [mm] $\vec{B}=\vektor{4\\ 3\\ 3}$ [/mm] und [mm] $\vec{C}=\vektor{6\\ 4\\ 2}$.
[/mm]
Die Koordinaten dieses Punktes kennen wir nicht aber wir können sie ausrechnen:
[mm] $\vec{A'}=\frac{\vec{B}+\vec{C}}{2}=\frac{1}{2}*\left[\vektor{4\\ 3\\ 3}+\vektor{6\\ 4\\ 2}\right]=\vektor{5\\ 3,5\\ 2,5}$
[/mm]
Hier habe ich erstmal Pause.
Ich möchte dich bitten, jetzt die Geradengleichung aufzustellen.
Einmal möchte ich wissen, ob du bis hier noch mitgekommen bist.
Zum anderen möchte ich sehen, welche Art von Geradengleichung du benutzt.
Das verhindert Missverständnisse.
Gruß Karthagoras
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ist es denn schonmal richtig,dass Ma (5/3.5/2.5) Mb (4/2.5/2) und Mc (3/2/2.5) ist?
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Und jetzt muss ich doch einen Aufpunkt und einen Richtungsvektoren finden, oder? Ist der Aufpunkt dann Mc und der Richtungsbektor c ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Mi 21.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Und jetzt muss ich doch einen Aufpunkt und einen
> Richtungsvektoren finden, oder? Ist der Aufpunkt dann Mc
> und der Richtungsbektor c ?
Fast: Der Aufpunkt ist tatsächlich [mm] M_{c}.
[/mm]
Der Richtungsvektor ist aber [mm] \overrightarrow{M_{c}C}.
[/mm]
Mit [mm] \vec{c} [/mm] würdest du parallel zur Dreiecksseite laufen, du willst aber durch die Punkte [mm] M_{c} [/mm] und C. Also nimmt man diesen Vektor.
Marius
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Berechne ich [mm] \overrightarrow{McC}, [/mm] indem ich [mm] \wurzel{(6-3)²+ (4-2)²+ (2.5-2)²} [/mm] rechne? Weil als Ergebnis dann, wenn ich richtig gerechnet habe, [mm] \wurzel{13.25} [/mm] und das sieht so falsch aus...
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Hallo beatbulette,
mit $ [mm] \overrightarrow{McC}$ [/mm] ist der vektor gemeint, der seinen Anfang bei [mm] $\vec{M_c}$ [/mm] und seine Spitze bei [mm] $\vec{C}$ [/mm] hat.
also [mm] $\vec{C}-\vec{M_c}$
[/mm]
D.h.
Deine Geradengleichung für [mm] $S_c$ [/mm] lautet demnach:
[mm] $\vec{Y}=\vec{M_c}+\lambda*\left(\vec{C}-\vec{M_c}\right)=\vektor{6\\4\\2}+\lambda*\left[\vektor{6\\4\\2}-\vektor{3\\2\\2,5}\right]$
[/mm]
Hoffe, das hilft dir weiter.
Gruß Karthagoras
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aber [mm] \vec{Mc} [/mm] war doch [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 2,5}, [/mm] oder? Stimmen dann die Gleichungen
[mm] \vec{Sa}= \vec{Ma}+ \lambda (\vec{a}- \vec{Ma})= \vektor{5 \\ 3.5 \\ 2.5} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{2 \\ 1 \\2} [/mm] - [mm] \vektor{5 \\ 3.5 \\ 2.5}
[/mm]
[mm] \vec{Sb}= \vec{M_b}+\lambda\cdot{}\left(\vec{b}-\vec{M_b}\right)=\vektor{4\\2.5\\2}+\lambda\cdot{}\left[\vektor{4\\3\\3}-\vektor{4\\2.5\\2}\right]
[/mm]
[mm] \vec{Sc}=\vec{M_c}+\lambda\cdot{}\left(\vec{C}-\vec{M_c}\right)=\vektor{6\\4\\2}+\lambda\cdot{}\left[\vektor{6\\4\\2}-\vektor{3\\2\\2,5}\right] [/mm]
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Hallo beatbullete,
prima, dass du so gut mitdenkst. ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Ja, ich habe da was falsch gemacht, aber es ist nicht ganz so schlimm:
Wir haben die Geradengleichung aufgestellt aus zwei Punkten.
Welchen wir uns als Aufpunkt benutzen ist wurscht.
Deshalb habe ich ich den einen Punkt [mm] $\vec{M_c}$ [/mm] als Aufpunkt in die Formel geschrieben, aber dusseligerweise mit den Koordinaten von [mm] $\vec{C}$ [/mm] gerechnet.
Deine Lösung ist richtiger als meine.
Benutze auf jeden Fall die, um die Schnittpunkte zu berechnen.
(Du hast einmal ein Paar Klammern vergessen, aber Schlamm drüber)
Und nimm als letzte Gleichung konsequenterweise:
$ [mm] \vec{Sc}=\vec{M_c}+\lambda\cdot{}\left(\vec{C}-\vec{M_c}\right)=\color{red}\vektor{3\\2\\2,5}\color{black}+\lambda\cdot{}\left[\vektor{6\\4\\2}-\vektor{3\\2\\2,5}\right] [/mm] $
Gruß Karthagoras
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Gut, ich glaube ich habs jetzt verstanden. Jetzt muss ich ja nur noch die Schnittpunkte wie gewohnt ausrechnen...
Aber danke, danke, danke für die Hilfe, das hat mir wirklich weitergeholfen 
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Hallo beatbulette,
es war mir ein Vergnügen.
Gruß Karthagoras
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So, ich habe die Aufgabe endlich geschafft...
Jetzt wüsste ich nur noch gerne, ob ich auch das richtige Ergebnis habe.
Also mein Ergebnis ist:
Die Seitenhalbierenden aller drei Geraden schneiden sich im Punkt S(4/2 [mm] \bruch{2}{3}/2 \bruch{1}{3}) [/mm]
Ich hoffe das stimmt jetzt endlich...
Aber danke nochmal für die liebe Hilfe
Doro
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Hallo beatbulette,
mal sehen ich nehm den Weg für Faulpelze.
(Versierte Faulpelze ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]") wissen, dass sie sich im arithmetischen Mittel der Eckvektoren schneiden.)
[mm] $\vec{S}=\frac13*\left(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}\right)$
[/mm]
$ [mm] \vec{S}=\frac13*\left(\vektor{2\\ 1\\ 2}+\vektor{4\\ 3\\ 3}+\vektor{6\\ 4\\2}\right)=\vektor{4\\ \frac{8}{3}\\ 3} \not=\vektor{4\\ \frac{8}{3}\\ \frac{7}{3}} [/mm] $
Äh du bevorzugst gemischte Brüche, äh ja ...stimmt fast.
Mir hat's Spaß gemacht.
Gruß Karthagoras
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Hättest du mir nicht vorher sagen können, dass das auch schneller geht
Du wolltest mich bestimmt nur quälen!
Meine Frage hat sich gerade erübrigt, ich hatte mich wegen der 3 als z-Koordinate gewundert...
Dann habe ich mit ein bisschen Hilfe ja doch noch das richtige Ergebnis bekommen.
Danke nochmal
lg Doro
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Hallo beatbulette,
Ja ich hatte es mir noch mal angekuckt und schon gemerkt.
> Hättest du mir nicht vorher sagen können, dass das auch
> schneller geht
Nee, hätte ich nicht. Das kriegt man nur raus, wenn man die Schnittpunkte mit
viel [mm] $\lambda$ [/mm] und viel [mm] $\mu\mbox{he}$ [/mm] (was für ein Kalauer) selbst einmal ausgerechnet hat.
> Du wolltest mich bestimmt nur quälen!
Du hast mich voll durchschaut.
Tja, ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") was machen wir jetzt?
Rechnest du noch mal nach?
Hattest du für [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] beim rechnen je andere Werte als [mm] $\frac13 \mbox{und} \frac23 [/mm] $, dann solltest du die noch mal nachrechnen.
Vielleicht hilft es auch, nicht mit gemischten Brüchen zu rechnen, die sind meist fehleranfälliger.
Gruß Karthagoras
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Nene, ich hatte zum Glück immer das selbe raus...
Damit wär die Aufgabe dann wohl gelöst. Vielleicht kann ich meinen Mathelehrer ja jetzt beeindrucken 
lgz Doro
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
