schnittpunkt zweier Kreise < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
wie kann ich den Schnittpunkt von zwei kreisen berechnen?Wenn ich versuche die allgemeinen Kreisgleichungen gleichzusetzten funktioniert das irgendwie nicht.
Zum Beispiel
Kreis 1: [mm] 0=x^{2}+y^{2}+\bruch{x}{4}+\bruch{y}{4}
[/mm]
Kreis 2: [mm] 0=x^{2}+y^{2}+\bruch{x}{6}+\bruch{y}{6}
[/mm]
Vielen dank
lg Julia
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich hab' von Kreisgleichungen leider keine Ahnung - aber funktioniert das nicht mit Gleichsetzen? Also einfach beide Gleichungen gleichsetzen und dann nach einer Variablen auflösen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
Hi
Antwort ich mal drauf.
Also K1 mit der allgemeinen kreisgleichung: (x-xm)²+(y-ym)²=r²
1) ausquadrieren
2)vereinfachen
das gleiche mit K2
schneidet sie .Auf dieses liegen S1,S2...und dieses setzt du in k1oder k2(kreis1 oder kreis2)
und mit der formel dann (x²+px+q)dürftest an dein schnittpunkt kommen.
Hoff es hilft dir weiter.
greetz.
|
|
|
| |
|
[mm]\text{Schnittpunkt berechnen} = \text{Gleichsetzen}[/mm]
[mm]\text{NEIN! NEIN! NEIN!}[/mm]
Dieser Irrtum läßt sich offenbar nicht ausrotten. Gleichsetzen kann man nur, was gleich ist. Was bedeutet denn eine solche Gleichung wie z.B.
[mm]x^2 + y^2 + 2x + \ldots = \ldots[/mm]
geometrisch? Das muß man erst verstanden haben.
Es gibt gewisse Punkte, deren Koordinaten [mm]x,y[/mm] die Gleichung erfüllen. Je nach Art der Gleichung stellen diese Punkte geometrisch etwas mehr oder weniger Schönes dar: eine Gerade, einen Kreis, eine Ellipse, eine Schlinge, ... Und wenn man nun zwei verschiedene solche Gleichungen hat, so stellen diese eben zwei verschiedene geometrische Gebilde dar. Und wenn man nun die Schnittpunkte der geometrischen Gebilde sucht, so heißt das, man sucht [mm]x,y[/mm], die, in jede der Gleichungen eingesetzt, beide Gleichungen wahr machen.
Gehen wir zum konkreten Beispiel:
[mm]\text{I} \ \ \ x^2 + y^2 + \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 0[/mm]
[mm]\text{II} \ \ \ x^2 + y^2 + \frac{x}{6} + \frac{y}{6} = 0[/mm]
Nehmen wir den Punkt [mm]P[/mm] mit [mm]x=-1, y=2[/mm]. Wir setzen die Koordinaten in beide Gleichungen ein:
[mm]\text{I} \ \ \ (-1)^2 + 2^2 - \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = 0 \ \ \ \text{falsch!}[/mm]
[mm]\text{II} \ \ \ (-1)^2 + 2^2 - \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = 0 \ \ \ \text{falsch!}[/mm]
Damit liegt der Punkt [mm]P[/mm] auf keinem der beiden geometrischen Gebilde (daß das Kreise sind, interessiert im Moment nicht).
Nehmen wir den Punkt [mm]Q[/mm] mit [mm]x= - \frac{1}{4}, y = 0[/mm]. Wir setzen wieder ein und erhalten:
[mm]\text{I} \ \ \ \left( - \frac{1}{4} \right)^2 + 0^2 +\frac{ - \frac{1}{4}}{4} + \frac{0}{4} = 0 \ \ \ \text{wahr!}[/mm]
[mm]\text{II} \ \ \ \left( - \frac{1}{4} \right)^2 + 0^2 +\frac{ - \frac{1}{4}}{6} + \frac{0}{6} = 0 \ \ \ \text{falsch!}[/mm]
Damit liegt der Punkt [mm]Q[/mm] auf dem ersten Gebilde, aber nicht auf dem zweiten.
Und jetzt den Punkt [mm]O[/mm] mit [mm]x=0, y=0[/mm]. Die Koordinaten erfüllen, wie man sofort sieht, beide Gleichungen. Damit liegt [mm]O[/mm] auf beiden Gebilden, gehört also zum Schnitt der beiden Gebilde.
Fassen wir also zusammen: Ein Punkt gehört zum Schnittgebilde, wenn seine Koordinaten beide Gleichungen erfüllen.
Und wie findet man nun das Schnittgebilde? Man könnte jetzt die erste Gleichung z.B. nach [mm]x[/mm] auflösen, ebenso die zweite. Dann könnte man die [mm]x[/mm]-Koordinaten gleichsetzen (denn die [mm]x,y[/mm]-Koordinaten sind es, die bei Schnittpunkten gleich sind). Das ist aber hier nicht empfehlenswert, da man häßliche Wurzelausdrücke bekäme und Fallunterscheidungen durchführen müßte. Stattdessen subtrahiert man die beiden Gleichungen voneinander. Dadurch fallen die quadratischen Glieder weg und man erhält eine Gleichung, die [mm]x,y[/mm] nur noch in linearer Form enthält, mit anderen Worten also eine Geradengleichung. Es wäre jetzt aber ein Irrtum zu glauben, daß diese Gerade das Schnittgebilde darstellt! Aus der Geometrie ist es anschaulich klar, daß zwei Kreise sich nicht in einer Geraden schneiden können, sondern nur zwei Schnittpunkte haben (wenn sie sich überhaupt schneiden). Was man nur sagen kann, ist, daß die Schnittpunkte der beiden Kreise auf dieser Geraden liegen müssen, denn für die Schnittkoordinaten sind [mm]\text{I}[/mm] und [mm]\text{II}[/mm], also auch [mm]\text{I} - \text{II}[/mm] wahr. Man hat somit die Gerade gefunden, die durch die beiden Schnittpunkte der Kreise verläuft. Und diese Geradengleichung kann man jetzt nach einer Variablen auflösen und in eine Kreisgleichung einsetzen. So findet man die eine Koordinate der Schnittpunkte, die andere findet man, indem man die gefundenen Werte wieder in die Geradengleichung einsetzt.
Letztlich löst man also das Schnittproblem für zwei Kreise, indem man es auf das Schnittproblem Kreis und Gerade zurückführt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Sa 10.09.2005 | | Autor: | juliakuehn |
Hallo,
vielen Dank für die Aufklärung meiner Frage ich glaube damit kann ich wirklich viel anfangen.
Danke
Ciao Julia
|
|
|
|
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
