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| Aufgabe | | Zeige, dass die ODE 3*t*x'' - (t-2)* x' -2*x = 0 bei t=0 eine schwach singuläre Stelle hat. |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Definition von "schwach singulär" bzw. "regulär singulär".
Also z.B. in obiger ODE ist natürlich t=0 eine singuläre stelle, da 3*0=0.
Nun ist aber die Frage, warum t=0 eine schwach singuläre Stelle ist.
Laut Heuser, "Gewöhnliche Differentialgleichungen" ist eine Stelle [mm] x_{0} [/mm] schwach singulär der Differentialgleichung P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0
wenn [mm] P(x_{0})=0 [/mm] und [mm] (x-x_{0})*\bruch{Q(x)}{P(x)} [/mm] und [mm] (x-x_{0})^{2}*\bruch{R(x)}{P(x)} [/mm] in Potenzreihen entwickelbar.
Ok diese Definition bereitet mir keine Schwierigkeiten. Mit dieser ist die Aufgabe leicht zu beweisen.
In der Vorlesung, wie in manchen anderen Büchern findet man aber die Definition:
[mm] x_{0} [/mm] ist schwach singulär, wenn die DGL von der Form :
[mm] (x-x_{0})^{2}*P_{2}(x)*y''+(x-x_{0})*P_{1}(x)*y'+p_{0}(x)*y=0 [/mm] ist, mit analytischen Funktionen [mm] p_{k} [/mm] und [mm] p_{2}(x_{0})=0
[/mm]
ich Erkenne nicht genau die äquivalenz der Definitionen, bzw. kann mit letzterer die Aufgabe nicht lösen.
Denn wenn ich versuche die ODE der Aufgabenstellung gemäß der 2. Definition umzuformen, bekomme ich keine analytischen funktionen [mm] P_{k}.
[/mm]
Wäre nett, wenn mich jemand aufklären könnte.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 So 13.12.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo raubkätzchen,
Du hast wohl recht, wenn Du sagst, das die beiden Definitionen von schwach singulär nicht übereinstimmen. Mir fällt auf, dass Du trotz Deiner sonst sehr exakten und korrekten Schreibweise, bei der 2. Definition mal kleines p, mal großes P verwendest. Wenn man z.B. [mm] p_{k} [/mm] = [mm] (x-x_{0})^{k} [/mm] * [mm] P_{k} [/mm] setzt, kommt man der Sache möglicherweise näher, denke ich.
Gruß
Uli
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Ja du hast recht, das ist etwas verwirrend.
Sorry.
Sind die beiden Definitionen nun nicht äquivalent?
Dann wäre doch die Aufgabe nicht lösbar?! Ich denke, dass da doch eine verbindung herrschen muss, denn sonst würde unser Prof nicht diese Aufgabe stellen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 So 13.12.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo raubkätzchen,
ich glaube, Du hast meinen letzten Post nicht ganz verstanden:
1. ja, die beiden Definitionen sind so wie sie da stehen (und wenn man annimmt, dass klein p und groß P keinen Unterschied machen) nicht äquivalent und die Aufgabe ist dann so nicht lösbar, aber
2. könnte es daran liegen, das klein p und groß P unterschiedliche Bedeutung haben, schau doch noch einmal in Deine Vorlesung; vielleicht sind die Definitionen mit diesen neuen Bedeutungen dann doch äquivalent?
Gruß
Uli
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