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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:19 Mo 13.10.2008 | | Autor: | abi09-.- |
| Aufgabe |
Abiturprüfung 2007
Mathematik, Grundkurs
Aufgabenstellung:
Der rechts abgebildete Würfel mit der Kantenlänge 4 [LE] hat
die gegenüberliegenden Ecken O(0 | 0 | 0) und G(4| 4 | 4).
Er wird durch eine Ebene E so in zwei Teile zerlegt, dass als
Schnittfläche das grau gefärbte regelmäßige Sechseck entsteht,
dessen Ecken die Mittelpunkte P(4 | 0 | 2) , Q(2 | 0 | 4) ,
R(0 | 2 | 4) , S(0 | 4 | 2) , T(2 | 4 | 0) und U(4 | 2 | 0) von sechs
Würfelkanten sind.
a) Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene E in Parameterform.
Geben Sie eine Gleichung der Ursprungsgeraden OG an.
Zeigen Sie, dass die Gerade OG die Ebene E rechtwinklig schneidet, und berechnen
Sie den Schnittpunkt M. (16 Punkte)
[Zur Kontrolle: E x y z : 6 + + = , M(2 | 2 | 2) ]
b) Zeigen Sie, dass das Dreieck PMQ mit M(2 | 2 | 2) gleichseitig ist. Bestimmen Sie seinen
Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Umfang des Sechsecks und seinen Flächeninhalt. (12 Punkte)
[Zur Kontrolle: Das Dreieck PMQ hat den Flächeninhalt 2 3 FE.]
c) Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide, die das Sechseck als Grundfläche und den
Punkt G als Spitze hat, und berechnen Sie, wie viel Prozent des Würfelvolumens die
Pyramide einnimmt. (8 Punkte)
d) Zeigen Sie, dass die Gerade g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 2}, [/mm] s [mm] \in \IR, [/mm] in der Ebene E liegt.
Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der Geraden g und der Sechsecksfläche und
ermitteln Sie die besondere Lage von g bezüglich des Sechsecks. (14 Punkte) |
hallöchen xD
vielleicht kommt einigen von euch diese aufgabe ja schon bekannt vor und ich hoffe deswegen kann mir jemand besonders gut helfen. xD
wer sich den würfel nicht vorstellen kann, kann sich die aufgabe auch auf den seiten vom schulministerium nrw angucken, aber ich hoffe man kann sich das auch so vorstellen....
ich habe mit keiner aufgabe ein problem gehabt und alles rausbekommen (auch richtig) bis auf den letzten aufgabenteil von d).
also d):
g [mm] \in [/mm] E
3-1s+3-1s+2s = 6
6 = 6
damit ist g [mm] \in [/mm] E....
dann wusste ich nicht wei ich weitermachen soll und habe geprüft ob die angegebenen punkte von dem sechseck, sprich P, Q, etc. [mm] \in [/mm] g sind. allerdings kommt bei mir raus, dass kein punkt auf der geraden liegt...
jetzt weiß ich nicht mehr weiter... naja
hoffe jemand kann mir helfen
dankeschön!
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Ich denke auch, dass P und Q usw. nicht auf g liegen, sieht man ja bereits an den x und y Werten.
Anhand der Aufgabenstellung scheint es zweckmäßig zu prüfen, ob a) g eine Kante des Sechsecks schneidet (vieleicht ja senkrecht, da von "besonderer Lage" die Rede ist) oder b) g parallel zu einer Kante ist. Das Sechseck ist regelmäßig, also muss du bei geschickter Kantenwahl nur wenig rechnen.
Beachte, dass es heißt "Schnittpunkte mit Sechseckfläche", du hast nur gezeigt (ich habs nicht nachgerechnet), dass ein Schnittpunkt mit den Ecken nicht existiert. Schnittpunkte mit den Kanten geben einen Hinweis darauf, ob die Gerade innerhalb der Fläche verläuft, durch das Errechnen zweier Schnittpunkte kannst du die Menge aller Schnittpunkte darstellen. Hoffe das hilft ein bisschen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Mo 13.10.2008 | | Autor: | abi09-.- |
hey...
ja dann stimmen wir wenigstens überein dass die punkte nicht auf g liegen. jedoch ist g [mm] \in [/mm] E, das heißt doch dass die gerade die sehcseckenfläche auch nicht senrkecht schneiden kann, oder....^^
das verwirrt mich^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mo 13.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich haette erst mal nachgesehen, wo der Punkt (3,3,0) liegt!
Und siehe da er liegt auf der Mitte von (2,4,0)und (4,2,0)
also in der Mitte einer Seite. dann s=1 ergibt M, deshalb muss sie jetzt auch durch die gegenueberliegende 6-Eck Seite gehen.
also halbiert die gerade das sechseck.
14 P durch genaues hinsehen! Die gerade zu skiziieren aus 2 Punkten, s= 0 und s=1 haette das auch gezeigt!
Also wenn man was rechnerisch nicht sieht immer erstmal zeichnen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Mo 13.10.2008 | | Autor: | kaliyanei |
Leduarts Ansatz ist in dem Falle wirklich gut - die zwei Kriterien, die ich dir genannt haben, kommen zum Einsatz, wenn es mal nicht so günstig ist wie in diesem Fall. 
Ja, man sollte sich tatsächlich immer eine - wenn auch noch so hässliche und grobe - Skizze machen...
Übrigens habe ich nicht geschrieben "senkrecht zur Ebene" sondern senkrecht zu einer Seite.
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