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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 So 09.05.2004 | | Autor: | Anke |
In welchen Punkten ist die Funktion f: R²->R stetig?
f(x,y) ={sin(xy)/xy², X ungleich 0, y ungleich 0; 1/y, x=0, y ungleich 0; 1/x, x ungleich 0, y =0; o, x=y=0}
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 So 09.05.2004 | | Autor: | Marc |
> In welchen Punkten ist die Funktion f: R²->R stetig?
>
> f(x,y) ={sin(xy)/xy², X ungleich 0, y ungleich 0; 1/y, x=0,
> y ungleich 0; 1/x, x ungleich 0, y =0; o, x=y=0}
Du hast vergessen, uns deine eigenen Lösungsideen mitzuteilen. Nackte Aufgabenstellung abtippen, abschicken, kein Begrüßung, nicht den Ansatz eigener Gehirnaktivität, falsches Mathe-Portal.
Ausserdem: Ist die Definition von f so zu verstehen:
f(x,y) ={
sin(xy)/xy² falls X ungleich 0, y ungleich 0;
1/y falls, x=0, y ungleich 0;
1/x falls x ungleich 0, y =0;
0, falls x=y=0}
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 So 09.05.2004 | | Autor: | Anke |
Es tut wir leid. Ich mache das heute zum ersten mal und konnte doch noch nicht wissen, wie das ganze hier abläuft. Das nächste mal werde ich die Begrüßung garantiert nicht vergessen.
Danke übrigens, dass du mir die Aufgaben stellung berichtigt hast. Ich wußte nicht, wie ich es lesen muss.
Ach übrigens habe ich meine Hirnwindungen schon angestreng, aber leider noch nichts nennenswertes zu stande gemacht. Kannst du mir vielleicht einen heißen Tip geben, wie ich an die Aufgabe rangehen muß. Würde mich sehr freuen, Anke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Anke
ich will mal versuchen, einen Lösungsansatz zu geben.
Die Ueberlegung ist doch die Folgende:
Zum Beispiel im 1. und 2. Quadranten, aber ausser auf der x-Achse und der y-Achse ist die Funktion
[mm]f(x,y) = \bruch {sin(xy)}{xy^2}[/mm] gegeben
Ich betrachte jetzt nur mal die Probleme bei [mm]x=0[/mm], also auf der y-Achse.
Dort (auf der y-Achse) wird ja die Funktion
[mm]f(x,y) = \bruch {sin(xy)}{xy^2}[/mm]
durch die Funktion
[mm]f(x,y) = \bruch {1}{y}[/mm]
fortgesetzt. (Ausser bei [mm]y = 0[/mm], das lassen wir mal ausser Betracht.)
Jetzt ist doch nur die Frage zu beantworten, ob ich, wenn ich auf der xy-Ebene z.B. vom 1. zum 2. Quadranten marschiere (also die y-Achse überschreite), es beim Ueberqueren der y-Achse nicht "rumpelt". D.h., ob
[mm]\lim_{P \to (0,y_0)} f(P) = \bruch{1}{y_0}[/mm]
Dazu marschiere ich mal parallel zur x-Achse auf der Höhe [mm] y_0:
[/mm]
[mm]x(t)=t[/mm], [mm]y(t)=y_0[/mm]
Dies in der Sinus-Funktion eingesetzt:
[mm]f(x(t),y(t)) = \bruch {sin(ty_0)}{ty_{0}^2}[/mm]
Und jetzt also den Limes für t gegen 0 berechnet:
[mm]lim_{t \to 0}\bruch {sin(ty_0)}{ty_{0}^2} = lim_{t \to 0}\bruch {y_0 * cos(ty_0)}{y_{0}^2}= \bruch{1}{y_0}[/mm]
Dabei habe ich monsieur De l' Hôpital bemüht 
Auf der y-Achse (ausser bei y=0) wissen wir jetzt also, dass die Funktion stetig ist (es "rumpelt" nicht).
Kannst du jetzt das Entsprechende auch noch für die x-Achse machen?
... und dann auch noch für den Punkt (0,0)?
... und mir das Resultat mitteilen? Wir können es dann überprüfen und hoffentlich  für richtig befinden!
Mit lieben Grüssen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
die Nicht-Stetigkeit in [mm](0,0)[/mm] ist ja relativ offensichtlich. Betrachte etwa die Folge [mm](z_n)_{n\in \IN}=(x_n,y_n)_{n \in \IN} = (0,\frac{1}{n})_{n \in \IN}[/mm].
Wenn du keine Folge wählen willst, die an einer der Achsen lang läuft, kannst du auch die Folge [mm](z_n)_{n\in \IN}=(x_n,y_n)_{n \in \IN} = (\frac{1}{n},\frac{1}{n})_{n \in \IN}[/mm] wählen, da sieht man wegen auch, dass [mm]\lim\limits _{n \to \infty} f(z_n) \ne 0 = f(0)[/mm] gilt.
Damit sollte dann alles klar sein. Wenn nicht, dann melde dich bitte wieder, aber beschreibe dein Problem dann bitte ganz genau.
Liebe Grüße
Julius
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