selbstadjungierter Endomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe gleich noch eine Frage zu folgender Aufgabe:
Sei f ein selbstadjungierter Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen Euklidischen Vektorraum V. Seien alle Eigenwerte von f positive reelle Zahlen. Beweise:
<f(v), v> >0 fuer alle v in V, v!=0.
Mein Beweis dazu scheint mir zu einfach und ich vermute, dass
ich etwas uebersehe.
Meine Gedanken dazu waren:
Sei m ein Eigenwert von f und v der dazugehoerige Eigenvektor.
Dann gilt f(v)=m*v.
Es ist <f(v), v>= <m*v,v>=m*<v,v>. Aber m ist positiv und auch <v,v>
ist positiv. Also <f(v),v> positiv.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank, margarita
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Margarita!
> Sei f ein selbstadjungierter Endomorphismus auf einem
> endlichdimensionalen Euklidischen Vektorraum V. Seien alle
> Eigenwerte von f positive reelle Zahlen. Beweise:
> <f(v), v> >0 fuer alle v in V, v!=0.
>
> Mein Beweis dazu scheint mir zu einfach und ich vermute,
> dass
> ich etwas uebersehe.
> Meine Gedanken dazu waren:
> Sei m ein Eigenwert von f und v der dazugehoerige
> Eigenvektor.
> Dann gilt f(v)=m*v.
> Es ist <f(v), v>= <m*v,v>=m*<v,v>. Aber m ist positiv und
> auch <v,v>
> ist positiv. Also <f(v),v> positiv.
Bisher hast du ja nur gezeigt, dass für alle Eigenvektoren $v$ gilt:
< f(v) , v > > 0.
Warum gilt dies aber für alle $v [mm] \in [/mm] V$?
(Tipp: Es gibt eine ON-Basis, bestehend aus Eigenvektoren von $f$. Warum?)
Melde dich mal mit einem ausgearbeiteten Lösungsvorschlag wieder. 
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan!
Es gibt eine Orthonormalbasis [mm] B=(v_1,...,v_n) [/mm] von V, die aus Eigenvektoren
von f besteht, weil f selbstadjungiert ist(Hauptsatz ueber selbstadjungierte
Endomorphismen von unitaeren Vektorraeumen).Wir koennen die dazugehoerigen
Eigenwerte [mm] m_1,...,m_n [/mm] nennen. Aber wie geht es weiter??
Ich habe allgemein das Problem, dass ich bei solchen Aufgaben mir ueberhaupt nicht
vorstellen kann, welche Theoreme ich anwenden muss, d.h. ich kann nicht einschaetzen
welcher Satz bzw. Saetze mir behilflich sein koennten. Wie kann
ich mir dabei weiterhelfen? Ich moechte bei solchen Aufgaben zumindestens in der Lage
sein, eine Beweisskizze anzufertigen. Wie kann ich das erreichen? Das ist ein
echtes Problem. Hast Du moeglicherweise einige Ratschlaege dafuer?
Danke schon im Voraus, Margarita
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Di 22.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Margarita!
Es sei nun [mm] $\{v_1,\ldots,v_n\}$ [/mm] eine ON-Basis, bestehend aus Eigenvektoren von $f$. Die zugehörigen Eigenwerte seien, wie von dir vorgeschlagen, [mm] $m_1,\ldots,m_n$.
[/mm]
Dann lässt sich jedes $v [mm] \in [/mm] V$ darstellen als
$v = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_n v_n$.
[/mm]
Nun gilt:
[mm][/mm]
[mm]= [/mm]
[mm]= <\lambda_1 f(v_1) + \ldots + \lambda_n f(v_n), \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n>[/mm]
[mm]= <\lambda_1 m_1 v_1 + \ldots + \lambda_n m_n v_n, \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n>[/mm]
[mm]= \ldots[/mm]
Bevor ich alles zu Ende vorrechne: Hast du eine Idee, wie man weitermachen könnte?
(TIPP: Nutze die Bilinearität des Skalarproduktes aus sowie die Tatsache , dass [mm] $\{v_1,\ldots,v_n\}$ [/mm] eine ON-Basis ist, dass also:
[mm] $ [/mm] = [mm] \delta_{ij}$
[/mm]
gilt. Weiter: Welches Vorzeichen haben die [mm] $m_i$? [/mm] Warum?)
Wir helfen dir dann weiter, wenn du nach wie vor Probleme hast.
> Ich habe allgemein das Problem, dass ich bei solchen
> Aufgaben mir ueberhaupt nicht
> vorstellen kann, welche Theoreme ich anwenden muss, d.h.
> ich kann nicht einschaetzen
> welcher Satz bzw. Saetze mir behilflich sein koennten.
> Wie kann
> ich mir dabei weiterhelfen?
Wenn du was mit "selbstadjungiert" siehst, dann muss dir sofort einfallen: Aha, es gibt eine ON-Basis aus Eigenvektoren. Das hilft bei solchen Aufgaben oft.
Allgemeine Patentrezepte gibt es leider nicht, da muss ich dich enttäuschen. Man entwickelt keine Strategien, sondern Intuitionen. Aber das braucht noch viel Routine. Am besten immer wieder versuchen Aufgaben zu lösen. Auch die Aufgaben anderer hier im Forum. Nur das ständige Beschäftigen mit Aufgaben, verbunden mit dem Nachlesen des zugehörigen Stoffes, bringt dir Routine.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan!
Danke fuer Deine Antwort...
> Es sei nun eine ON-Basis, bestehend aus Eigenvektoren von . Die zugehörigen
> Eigenwerte
> seien, wie von dir vorgeschlagen, .
> Dann lässt sich jedes [mm]v \in V[/mm] darstellen als
>
> [mm]v = \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n[/mm].
> Bevor ich alles zu Ende vorrechne: Hast du eine Idee, wie man weitermachen könnte?
> (TIPP: Nutze die Bilinearität des Skalarproduktes aus sowie
> die Tatsache , dass [mm]\{v_1,\ldots,v_n\}[/mm] eine ON-Basis ist,
> dass also:
>
> [mm] = \delta_{ij}[/mm]
Ist das so richtig:
[mm]==[/mm]
[mm]=<\lambda_1f(v_1) + \ldots + \lambda_nf(v_n), \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_nv_n>=[/mm]
[mm]=<\lambda_1m_1v_1 + \ldots + \lambda_nm_nf(v_n), \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_nv_n>=[/mm]
[mm]=<\lambda_1m_1v_1, \lambda_1v_1 +\ldots + \lambda_nv_n>+
\ldots
+<\lambda_nm_nv_n, \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_nv_n>=[/mm]
[mm]=<\lambda_1m_1v_1, \lambda_1v_1> + \ldots +<\lambda_1m_1v_1, \lambda_nv_n>+
\ldots
+<\lambda_nm_nv_n, \lambda_1v_1> + \ldots +<\lambda_nm_nv_n, \lambda_nv_n>=[/mm]
=[mm]\lambda_1m_1\lambda_1 + \ldots + \lambda_1m_1\lambda_n+
\ldots
+\lambda_nm_n\lambda_1 + \ldots + \lambda_nm_n\lambda_n=[/mm]
=[mm](\lambda_1^2)m_1 + \ldots +(\lambda_n^2)m_n[/mm]
Alle [mm] [/mm] mit i ungleich j fallen weg, da [mm] v_i [/mm] orthogonal zu
[mm] v_j [/mm] ist.
> Weiter: Welches Vorzeichen haben die [mm] m_i? [/mm] Warum?)
Die [mm] m_i, [/mm] also die Eigenwerte von f sind positive reelle Zahlen, wie
in der Aufgabenstellung gegeben.
> Wir helfen dir dann weiter, wenn du nach wie vor Probleme hast.
> Wenn du was mit "selbstadjungiert" siehst, dann muss dir sofort einfallen: Aha, es gibt eine ON-> Basis aus Eigenvektoren. Das hilft bei solchen Aufgaben oft.
Okay, diesen Ratschlag werde ich von nun an beruecksichtigen.
> Allgemeine Patentrezepte gibt es leider nicht, da muss ich dich enttäuschen. Man entwickelt keine Strategien, sondern Intuitionen. Aber das braucht noch viel Routine. Am besten immer wieder versuchen Aufgaben zu lösen. Auch die Aufgaben anderer hier im Forum. Nur das ständige Beschäftigen mit Aufgaben, verbunden mit dem Nachlesen des zugehörigen Stoffes, bringt dir Routine.
Diese Tipps sind sehr aufbauend, daran werde ich mich halten. Jetzt weiss ich auch besser was ich machen muss, um Aufgaben erfolgreicher zu bewaeltigen.
Vielen Dank und Liebe Gruesse,
Margarita
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Do 24.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Margarita!
> Ist das so richtig:
> [mm]==[/mm]
>
> [mm]=<\lambda_1f(v_1) + \ldots + \lambda_nf(v_n), \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_nv_n>=[/mm]
>
> [mm]=<\lambda_1m_1v_1 + \ldots + \lambda_nm_nf(v_n), \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_nv_n>=[/mm]
>
>
> [mm]=<\lambda_1m_1v_1, \lambda_1v_1 +\ldots + \lambda_nv_n>+
\ldots
+<\lambda_nm_nv_n, \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_nv_n>=[/mm]
>
>
> [mm]=<\lambda_1m_1v_1, \lambda_1v_1> + \ldots +<\lambda_1m_1v_1, \lambda_nv_n>+
\ldots
+<\lambda_nm_nv_n, \lambda_1v_1> + \ldots +<\lambda_nm_nv_n, \lambda_nv_n>=[/mm]
>
>
> =[mm]\lambda_1m_1\lambda_1 + \ldots + \lambda_1m_1\lambda_n+
\ldots
+\lambda_nm_n\lambda_1 + \ldots + \lambda_nm_n\lambda_n=[/mm]
>
>
> =[mm](\lambda_1^2)m_1 + \ldots +(\lambda_n^2)m_n[/mm]
>
[mm] $\red{= \lambda_1^2 m_1 + \ldots + \lambda_n^2 m_n > 0}$,
[/mm]
da [mm] $=1$.
[/mm]
>
> Alle [mm][/mm] mit i ungleich j fallen weg, da [mm]v_i[/mm]
> orthogonal zu
> [mm]v_j[/mm] ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Super!!! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
>
> > Weiter: Welches Vorzeichen haben die [mm]m_i?[/mm] Warum?)
>
> Die [mm]m_i,[/mm] also die Eigenwerte von f sind positive reelle
> Zahlen, wie
> in der Aufgabenstellung gegeben.
Es freut mich, dass ich dir helfen konnte. Du hast die Aufgabe bravourös bewältigt!! ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]")
Liebe Grüße
Stefan
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