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| Aufgabe | | Sei $K$ ein Körper, $f [mm] \in K[x]\setminus [/mm] K$ und $L$ der Zerfällungskörper von $f$. Dann ist $f$ separabel genau dann wenn $f$ in $L$ paarweise verschiedene Nullstellen hat. |
moin,
Ich würde in einer Aufgabe, die ich gerade am bearbeiten bin, gerne diesen Satz benutzen.
Er scheint mir recht einleuchtend und klar, denn hat $f$ eine mehrfache Nullstelle in $L$ so ist $f$ garantiert nicht separabel, hat $f$ allerdings nur einfache Nullstellen in $L$, so kann $f$ ja in keinem anderen Körper "mehr" NS haben, da $L$ der Zerfällungskörper ist.
Allerdings haben wir diesen Satz in der Vorlesung nur unter der Zusatzbedingung, dass $f$ irreduzibel ist, bewiesen.
Deshalb wollte ich zur Sicherheit mal kurz fragen:
Gilt dieser Satz?
Ich würde daraus gerne folgern, dass für $f = [mm] x^n [/mm] -1$ die Erweiterung $L|K$ Galois'sch ist, was hoffentlich auch gilt...^^
Danke für (hoffentlich^^) Bestätigung meiner Vermutung.
lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Mo 05.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
du hast recht. Folgende Definition von separabel brauchst du (Holz: Rep. d. Algebra)
Ein nichtkonstantes Polynom f [mm] \in [/mm] K[x] heißt separabel, wenn f im Abschluss von K nur einfache Nullstellen besitzt.
Grüße
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