seperable Körpererweiterungen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Do 11.08.2011 | | Autor: | flipflop |
| Aufgabe | | L/K sei eine seperable Körpererweiterung. Weiter sei M ein Zwischenkörper (K [mm] \subset [/mm] M [mm] \subset [/mm] L). Ist dann L/M wieder separabel und wenn ja warum? |
Hallo,
ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen und da ist mir diese Frage gekommen. Bei normalen Körpererweiterungen ist das ja so, dass falls L/K eine normale Körpererweiterung ist, dann L/M (K [mm] \subset [/mm] M [mm] \subset [/mm] L) wieder normal ist...
Wäre prima, wenn mir jemand weiterhelfen könnte - schonmal vielen Dank...
lg flipflop
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Do 11.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> L/K sei eine seperable Körpererweiterung. Weiter sei M ein
> Zwischenkörper (K [mm]\subset[/mm] M [mm]\subset[/mm] L). Ist dann L/M
> wieder separabel und wenn ja warum?
Ja, das ist so, es gilt sogar noch staerker: $L/K$ ist separabel genau dann, wenn $L/M$ und $M/K$ separabel sind.
Fuer einen Beweis waer es jetzt gut zu wissen, wie ihr separabel eigentlich definiert habt. Ueber die Anzahl der Einbettungen in den alg. Abschluss, oder ueber die Separabilitaet der Minimalpolynome der Elemente?
Bei ersterem zeigt man, dass $[L : [mm] K]_s [/mm] = [L : [mm] M]_s \cdot [/mm] [M : [mm] K]_s$ [/mm] gilt und dass $1 [mm] \le [/mm] [L : [mm] K]_s \le [/mm] [L : K]$ gilt; aus diesen Aussagen folgert man schnell die Aequivalenz.
Bei zweiterem ist deine Aussage sogar noch einfacher: ist $f [mm] \in [/mm] K[x]$ das Minimalpolynom von einem [mm] $\alpha \in [/mm] L$ ueber $K$, und $g [mm] \in [/mm] M[x]$ das MiPo von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber $M$, so gilt $g [mm] \mid [/mm] f$. Da $L/K$ separabel ist ist $f$ quadratfrei, womit auch $g$ quadratfrei ist, womit [mm] $\alpha$ [/mm] separabel ueber $M$ ist. Da [mm] $\alpha$ [/mm] beliebig war folgt $L/M$ separabel.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Do 11.08.2011 | | Autor: | flipflop |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort!
Wir haben Seperabilität über die Minimalpolynome definiert:
Sei L/K eine algebraische Körpererweiterung. Ein Element a [mm] \in [/mm] L heißt seperabel über K, wenn das Minimalpolynom [mm] \mu \in [/mm] K[t] von a seperabel ist. Ein irreduzibles Polynom f(t) [mm] \in [/mm] K[t] heißt dabei seperabel, wenn ggT(f, f')=1.
Bedeutet quadratfrei, dass ggT(g, g')=1 gilt? Wir hatten diesen Begriff nicht... Fall quadratfrei ggT(g,g')=1 bedeutet hab ichs aber verstanden =) Danke!!!
Viele Grüße, flipflop
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Do 11.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin flipflop!
> vielen Dank für deine Antwort!
> Wir haben Seperabilität über die Minimalpolynome
> definiert:
> Sei L/K eine algebraische Körpererweiterung. Ein Element
> a [mm]\in[/mm] L heißt seperabel über K, wenn das Minimalpolynom
> [mm]\mu \in[/mm] K[t] von a seperabel ist. Ein irreduzibles Polynom f(t) [mm]\in[/mm] K[t] heißt dabei seperabel, wenn ggT(f, f')=1.
Ah ok :)
> Bedeutet quadratfrei, dass ggT(g, g')=1 gilt? Wir hatten diesen Begriff nicht... Fall quadratfrei ggT(g,g')=1 bedeutet hab ichs aber verstanden =) Danke!!!
Ja, das bedeutet es. Oder anders formuliert: aus [mm] $f^2 \mid [/mm] g$ folgt $f$ konstant. (Daher kommt das "quadratfrei": ein Element eines faktoriellen Ringes heisst quadratfrei, wenn jeder Primfaktor des Elements Vielfachheit 1 hat.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Do 11.08.2011 | | Autor: | flipflop |
Ok, dann vielen Dank für deine Hilfe!
Liebe Grüße, flipflop
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